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De dibujo

Equivalencias – Construcción de figuras y polígonos equivalentes

Son polígonos equivalentes aquellos que tienen la misma extensión. Cuando hablamos de extensión nos referimos a una magnitud concreta. Puede ser longitud, perímetro, área… Los ejercicios que te voy a explicar a continuación se refieren en concreto al área de la figura.

Aquí abajo tienes dos triángulos distintos. Puedes mover los puntos A, B, C y D para modificarlos, pero hagas lo que hagas verás que siempre tienen áreas iguales. Por lo tanto, son triángulos equivalentes.

En éste caso es fácil de verificar, ya que el área de un triángulo es base por altura dividido por dos. Como en todo momento estos dos triángulos tienen la misma base y altura, siempre tienen la misma superficie.

Índice

    Dibujar triángulos equivalentes

    El procedimiento para dibujar triángulos equivalentes es realmente sencillo. Supongamos que te proporcionan un triángulo cualquiera, de vértices A, B y C al cual debes hallar un equivalente. Como ya te he mostrado antes, solo tienes que hacer una paralela a la base por la altura. Todos los triángulos que tengan la misma base y cuya altura se encuentre en esa paralela, serán equivalentes.

    Dibujar polígonos equivalentes - Equivalencias en geometría

    Construcción de polígonos equivalentes a otros, pero de menos lados

    Este tipo de problemas suelen ser transformar un pentágono en un triángulo, un hexágono en un rectángulo, o cosas parecidas. El procedimiento no es demasiado complicado. Básicamente se traduce a transformar la figura original en triángulos y luego modificarlos de tal manera que los lados coincidan para acabar teniendo el número de lados que te solicitan. Como ejemplo te voy a enseñar como transformar un pentágono en un triángulo. Tu punto de partida será el pentágono de vértices A, B, C, D y E

    • Empieza prolongando la línea que sería la base del pentágono, es decir, el segmento DE
    • A continuación dibuja las líneas que unen el vértice superior A con las bases.
    • Ahora dibuja paralelas a esas líneas que pasen por los vértices que quieres eliminar. En este ejercicio serían los vértices B y C
    • Donde esas paralelas cortan a la prolongación de la base tienes los puntos F y H
    • El triángulo AFH es equivalente al pentágono inicial

    Como puedes comprobar, ambas figuras son polígonos equivalentes. Este mismo procedimiento lo puedes usar para obtener rombos, rectángulos, etc.

    Convertir un triángulo en un rectángulo equivalente

    Este es uno de los ejercicios más sencillos de equivalencias. Si recuerdas la fórmula del área del rectángulo y la del cuadrado, ya tienes la mitad del ejercicio hecho.

    • Traza la altura del triángulo.
    • Ahora dibuja la mediatriz de esa altura.
    • Si dibujas un rectángulo que tenga la misma base que el triángulo, y de altura la mitad de la altura del triángulo, ya tienes el rectángulo equivalente.

    Como imaginarás, este procedimiento es completamente reversible. Transformar un rectángulo cualquiera en un triángulo equivalente es muy sencillo. Solo tienes que hacer una paralela que se encuentre al doble de la altura del rectángulo. Cualquier triángulo que tenga la misma base que el rectángulo y cuya altura sea el doble que la del rectángulo tendrá la misma superficie.

    Dado un triángulo, dividirlo en partes equivalentes

    Este ejercicio te sirve para dividir un triángulo en cualquier número de partes equivalentes. Como muestra te voy a enseñar como dividirlo en tres partes iguales, pero puedes usar el Teorema de Tales para dividirlo en cualquier número de partes. De este ejercicio nos podemos encontrar dos variantes, mediante líneas que pasen por un vértice o mediante líneas paralelas.

    Mediante líneas que pasen por un vértice

    Éste es el método más sencillo. Todo lo que tienes que hacer es dividir uno de los lados en las partes que necesites utilizando el Teorema de Tales y luego unir esos puntos con el vértice opuesto. Aquí abajo te dejo una aplicación interactiva con dos triángulos distintos para que puedas comprobarlo.

    Mediante líneas paralelas

    • Partiendo del triángulo de vértices A, B y C el primer paso es dividir un lado (en este caso el segmento AC) en el número de partes que te pidan. En este caso tres. Para ello usa el Teorema de Tales. De esa manera obtienes los puntos D y E
    • Halla el punto medio del segmento AC con una mediatriz. A ese punto llámalo O
    • Con centro en O y radio hasta A, dibuja media circunferencia, hasta C
    • Traza perpendiculares al lado AC que pasen por D y E hasta cortar al arco que acabas de dibujar. De esa manera obtienes los puntos F y H
    • Dibuja dos arcos que tengan como centro A, y de radio AF por un lado y AH por el otro. Los puntos donde esos arcos cortan al lado AC puedes llamarlos J e I
    • Para terminar, haz paralelas a la base (segmento BC) que pasen por los puntos J e I, de esa manera acabas de dibujar los polígonos equivalentes que buscabas. Cada uno de ellos tiene igual área que los otros.

    Dividir una circunferencia en partes iguales concéntricas

    Este procedimiento sirve para dividir una circunferencia en partes iguales concéntricas. Digamos que es una manera de cortar tartas muy distinta a la que estamos acostumbrados… 🤣🤣🤣

    El procedimiento es muy sencillo y te sirve para dividirlo en cualquier número de partes iguales.

    1. Empieza por dibujar un radio cualquiera de la circunferencia.
    2. Ahora divide ese radio en el número de partes que quieres, usando el teorema de tales. Aquí abajo tienes dos ejemplos, uno con 5 partes y otro con 2.
    3. Halla el punto medio de ese radio. Si se trata de un número par de partes, te coincidirá con una de las partes.
    4. Con centro en ese punto medio, y radio hasta el centro de la circunferencia, dibuja un arco.
    5. Realiza perpendiculares por cada uno de los puntos que te marcaba el teorema de Tales sobre el radio.
    6. Donde esas perpendiculares cortan al arco tienes los puntos que determinan los radios de las circunferencias que buscas.

    Dibujar un triángulo equivalente a un cuadrado

    Dibujar un triángulo equivalente a un cuadrado es un poco más complejo que los ejercicios anteriores dado que el triángulo resultante tiene una altura distinta al cuadrado original. Así pues, el ejercicio consiste en hallar la altura del triángulo.

    • Dado el cuadrado de vértices A, B, C y D, empieza hallando el punto medio de la base, en este caso el segmento CD. Ese punto medio llámalo E.
    • Con centro en E, y radio EA, dibuja un arco que corta a la prolongación de la base en el punto F
    • Dibuja un arco con centro en C y radio CF. Ese arco corta al lado AC en el punto H
    • Con centro en H y radio HC (es el mismo que ya tienes en el compás) dibuja un arco que corta a la prolongación del lado AC en el punto I
    • El triángulo IFD es equivalente al cuadrado inicial

    Si te acuerdas de lo que has leído un poco más arriba, si dibujas una paralela a la base que pase por I, cualquier triángulo de base CD y vértice sobre esa paralela será equivalente también.

    Convertir un rectángulo en un cuadrado equivalente

    Transformar un rectángulo en un cuadrado equivalente solo requiere un par de pasos. Como verás a continuación es muy sencillo.

    • Dado el rectángulo de vértices A, B, C y D, prolonga la base.
    • Traza un arco con centro en C y radio CD que corte a la prolongación de la base. El punto donde cortan llámalo E
    • Halla el punto medio del segmento BE, puedes hacerlo con una mediatriz. El punto medio puedes llamarlo F
    • Prolonga el lado CD hacia arriba.
    • Con centro en F y radio FE dibuja un arco que corte a la prolongación del lado CD. El punto donde se cortan llámalo H
    • El segmento CH es el lado del cuadrado equivalente al rectángulo inicial dado.

    Dibujar un cuadrado equivalente a la suma de otros dos

    Este ejercicio es muy sencillo, pero ten en cuenta que se puede encadenar con otros para realizar un ejercicio más complejo. Por ejemplo transformar dos cuadrados en un triángulo equivalente a la suma de ambos, o cualquier otra combinación usando los ejercicios que tienes en esta entrada.

    Para resolverlo, todo lo que tienes que hacer es dibujar un triángulo rectángulo tomando como catetos los lados de los dos cuadrados que conoces. La hipotenusa de ese cuadrado será el lado del cuadrado equivalente a la suma de ambos.

    Transformar un pentágono regular en un rectángulo equivalente

    Este es un procedimiento bastante sencillo. Partes de un pentágono regular, y te piden transformarlo en un rectángulo equivalente. Un tipo de ejercicio muy común es encadenar varios de estos ejercicios para transformar una forma en otra equivalente.

    • Empieza por dibujar la línea que une los vértices A y D
    • Ahora prolonga la base del pentágono (segmento CD)
    • Dibuja una paralela a esa línea que pase por E y que corte a la prolongación de la base. El punto donde cortan llámalo F
    • Traza la altura del pentágono, de esa manera obtienes el punto I
    • El segmento AI es un lado del rectángulo, y el segmento IF otro. Haciendo paralelas a ambos obtienes el punto H
    • Si unes A, I, F y H tienes el rectángulo equivalente al pentágono regular dado.

    Convertir un hexágono regular en un triángulo equivalente

    En este caso te piden transformar un hexágono regular en un triángulo equivalente. El punto de partida es un hexágono cuyos vértices son A, B, C, D, E y F.

    • En primer lugar, debes prolongar la línea de la base. En este caso se refiere al segmento que forman D y E
    • Dibuja una recta perpendicular a ésta línea que pase por el punto C
    • Donde esa perpendicular corta a la prolongación de la base tienes el punto H
    • Con el compás, dibuja un arco de centro E y radio EH
    • Ese arco corta a la prolongación de la base en el punto I
    • El segmento que forman H e I es la base del triángulo.
    • Prolonga el segmento AB, que marca la altura del hexágono, y al mismo tiempo el del triángulo equivalente.
    • CUALQUIER punto de la prolongación de AB servirá como altura del triángulo. A ese punto puedes llamarlo J

    Transformar una elipse en un círculo equivalente

    Si eres capaz de recordar las fórmulas para hallar las áreas del círculo y de la elipse, ya tienes la mitad de la tarea hecha. Te las recuerdo por si ahora no te acuerdas. La del círculo es π·r2 mientras que la de la elipse es π·a·b donde a y b son los semiejes de la elipse. Así pues, si recuerdas la media proporcional de dos segmentos, es fácil transformar a·b en el radio de la circunferencia. De esa manera puedes transformar una elipse en un círculo equivalente.

    1. En primer lugar, lleva el semieje CD sobre el eje mayor AB. Es decir, pincha en O con el compás, abre hasta C y marca el punto E.
    2. Ahora halla la media proporcional del segmento AO y del segmento OE. De esa manera obtienes el punto I. El segmento OI es el radio del círculo equivalente a la elipse dada.
    3. Lo único que tienes que hacer para terminar es pinchar en O con el compás, abrir hasta I y dibujar el círculo que te están pidiendo.

    Transformar un círculo en un cuadrado equivalente

    No existe un método exacto para transformar un círculo en un cuadrado equivalente. A continuación te explico un par de métodos distintos. El primero es un poco más fácil a la hora de realizar los pasos, pero arroja un margen de error algo mayor. El segundo es más preciso, aunque a simple vista pudiera parecer que el procedimiento es algo más complicado.

    Método 1

    • Empieza por marcar el diámetro del círculo, a sus extremos llámalos A y B
    • Ahora divide dicho diámetro en siete partes iguales. A cada una de esas partes puedes llamarlas A1, A2, A3
    • Prolonga ese diámetro en las dos direcciones.
    • Con centro en A y radio hasta A3 (tres séptimas partes del diámetro) dibuja un arco que corta a la prolongación de se diámetro en el punto C
    • Dibuja una perpendicular al radio por el punto B
    • Ahora, con centro en A4 y radio hasta C, traza un arco que corta a esa perpendicular en el punto D
    • El segmento DB es el lado del cuadrado equivalente que tienes que hallar.

    Método 2

    Este método se basa en dos principios que creo que ya conoces, la rectificación del círculo y en la media proporcional de dos segmentos. Para este ejemplo yo he usado la rectificación de los polígonos, que creo que es rápida, sencilla y precisa. No obstante, puedes usar otra rectificación más precisa.

    • En primer lugar, rectifica media circunferencia. Si no sabes como, te recomiendo visitar el articulo donde explico como rectificar media circunferencia.
    • Una vez tienes la rectificación, representada en este caso por el segmento DF, debes situar el radio sobre el mismo, hallando el punto I.
    • Ahora debes realizar la media proporcional de los segmentos DI e IF. Si no recuerdas como se hace, puedes visitar la entrada donde explico como realizar la media proporcional de dos segmentos. De esa manera hallas el punto J.
    • El segmento FJ es el lado del cuadrado equivalente al círculo inicial.

    Como puedes ver, no es un método exacto, pero si muy preciso.

     
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