Rectificación de una circunferencia

En este apartado vamos a ver como realizar la rectificación de una circunferencia empleando diversos métodos y formas geométricas existentes. También veremos matemáticamente cual de las posibles soluciones es más fiable.

En primer lugar, debemos tener en cuenta que hasta el momento no se ha encontrado ninguna fórmula exacta para rectificar una circunferencia a través del dibujo técnico. Lo que pretendo con éste artículo es estudiar y comprender los más comunes, y ver cual de todos ellos es más preciso. Vamos a trabajar con circunferencias de 5cm de radio, para poder comprobar los resultados fácilmente.

Rectificación fácil

A esta rectificación la llamo así porque no se cual es su nombre científico. Tampoco se a que científico o matemático se debe su origen. Lo que si se, es que se trata del método más sencillo de todos, si bien hay que reconocer que no es menos preciso que cualquiera de los que detallo más abajo.

• Tu punto de partida es una circunferencia de radio 5cm y centro O₁
• Dibuja el diámetro horizontal de la circunferencia y prolóngalo. Los puntos donde corta a la circunferencia llámalos A y B
• Con el compás, mide la longitud del diámetro de la circunferencia (segmento AB) y llévalo dos veces más, obteniendo los puntos C y D
• Divide ahora el segmento CD en siete partes iguales usando el teorema de Tales. Realmente solo necesitas el último de ellos, por lo que no es necesario que dibujes todas las líneas. Realmente solo te interesa el punto determinado por D2 que llamaremos E
• Con centro en D y radio DE tienes que trazar un arco que corta a la recta auxiliar en el punto F
• El segmento AF es la rectificación de la circunferencia.

Rectificación de una circunferencia usando el teorema de Arquímedes

Desde mi punto de vista, éste método es el más sencillo de realizar la rectificación de una circunferencia. Vamos a resolverlo utilizando regla y compás.

• En primer lugar, trazamos un diámetro de la circunferencia que corta a la circunferencia en los puntos P y R.
• Trazamos una recta auxiliar perpendicular a dicho diámetro, nosotros elegiremos la que pasa por el punto R y la llamaremos s.
• Dividimos el diámetro en siete partes iguales utilizando el teorema de Tales. Recordemos como se hace:
  • Trazamos una semirecta auxiliar que pasa por la base del diámetro, la llamaremos r.
  • Con un radio cualquiera, trazamos un arco que corta a dicha semirrecta auxiliar r en el punto A₁.
  • Con ese mismo radio, y centro en A1, volvemos a cortar a r en el punto A₂.
  • Repetimos el proceso, siempre con el mismo radio, hallando los puntos A₃, A₄, A₅, A₆ y A₇.
• Unimos P con A₇ y realizamos paralelas a éste segmento por los demás puntos de corte A₂, A₃, A₄, A₅, A₆ y A₇. Así hallaremos los puntos P₂, P₃, P₄, P₅, P₆ y P₇ que determinan puntos equidistantes en el diámetro PR y que por tanto lo dividen en siete partes iguales.
• Ahora trasladamos el diámetro PR tres veces sobre la recta s, hallando los puntos R₂, R₃ y R₄
• Por último trasladamos una séptima parte del diámetro (es decir, el segmento que forman P y P₂, por ejemplo) a continuación desde el punto R₄, hallando el punto R₅
• El segmento que forman R y R₅ es la rectificación de una circunferencia utilizando el método de Arquímedes.

Utilizando éste método la longitud del segmento será de 31,4286cm si el radio de la circunferencia inicial es de 5cm. Esto nos da una precisión del 99,9598% y un margen de error de 0,0126cm en este caso concreto.

Rectificación utilizando el método de Specht

El método de Specht es un para la rectificación de una circunferencia que fue desarrollado por el mátemático británico George Green Specht en 1828. Vamos a utilizar algunos de los pasos que ya dimos en el proceso anterior, seguiremos a partir del segundo punto.

• En primer lugar, trasladamos el diámetro de la circunferencia PR sobre la recta s hallando el punto R₂
• Dividimos el segmento que forman O₁ y P en cinco partes iguales utilizando el teorema de Tales, a los puntos intermedios los vamos a llamar P₂, P₃, P₄, P₅
• Desde el punto P trazamos una circunferencia con radio igual al segmento que forman P y P₃, hallando el punto T en la prolongación del diámetro PR.
• Ahora, a partir de R₂ vamos a trasladar tres quintos del radio. Es decir, el segmento que formarían P y P₄ hallando el punto R₃
• Unimos O₁ y R₃ con un segmento
• Trazamos una paralela al segmento que forman O₁ y R₃ hallando el punto R₄ en donde corta a la recta s
• El segmento que forman R y R₄ es la solución buscada.

Como podéis comprobar, el resultado para ésta rectificación es de 31,2. A pesar de ser bastante preciso (tiene una precisión del 99,3127%) no es tan preciso como otros métodos. El margen de error es de 0.2159cm, que se puede afirmar que es mayor que el margen que devuelve el método de Kochansky.

¡¡¡ADVERTENCIA!!!

He visto numerosos vídeos y páginas en internet que aplican mal éste tipo de rectificación. De hecho he encontrado alguna página web de algún instituto, lo que me parece realmente preocupante. Mi fuente es el libro de la Editorial MAD para preparación de oposiciones de Dibujo Técnico, concretamente el volumen 2. El fallo lo he descubierto al buscar más información sobre Specht, no sobre la fórmula. Al ver que no cuadraba lo que veía en internet con lo que ponía en mi libro he decidido comprobarlo.

Para ello he trazado una circunferencia de diametro 10cm. Es obvio que su rectificación debería ser 31,4159… Partiendo de esa base, utilizando el programa Geogebra he comprobado el resultado aplicando lo que normalmente se suele ver en internet, con lo que aparece en el libro que uso como referencia.

En la mayoría de páginas web y vídeos que veréis se indica que hay que trasladar una quinta parte del radio sobre la prolongación del diámetro. Cuando en realidad hay que trasladar dos quintas partes. Por favor verificadlo. Aquí abajo os pongo la imagen con los valores numéricos para que lo podáis ver claramente.

Como podéis ver, el segmento PC mide 28,6 mientras que el segmento PD mide 31,2

Rectificación de una circunferencia por el método Kochansky

Adamandus Kochansky era un matemático polaco que desarrolló el siguiente método en el siglo XVII. Como veremos a contiuación, es un método bastante sencillo, aunque algo impreciso.

• Desde el centro O₁ trazamos una recta que forme 30 grados respecto al diámetro PR, cortando a la recta s en el punto B. Para ello haremos lo siguiente:
  • Con centro en P y radio igual al segmento que forman P y O₁ trazamos un arco que corta a la circunferencia en A
  • Hallamos la bisectriz del ángulo que forma P con O₁ y el punto A. Dicha bisectriz corta a la recta s en el punto B
• Con centro en B se traslada el radio tres veces, hallando los puntos B₁, B₂ y C
• Si unimos R con C, tenemos la rectificación de media circunferencia. Si ahora queremos hallar la rectificación total, solo tenemos que trasladar dicho radio sobre la recta s, hallando el punto D.
• Con centro en D, y radio CD trazamos un arco de circunferencia que corta en E a la recta s. El segmento CE es la rectificación de la circunferencia.

Como podéis ver, la rectificación de una circunferencia empleando éste método es bastante precisa, ya que el resultado es de 31.4153cm, muy próximo a los 31,4159 ideales. Esto nos arroja una precisión del 99,9981% y un margen de error de tan sólo 0,0006cm para este caso.

Rectificación de una circunferencia por el método de los polígonos

Este método se denomina así porque se basa en el triángulo y el cuadrado inscritos en la circunferencia. Realmente es la rectificación de media circunferencia que luego por traslado se realiza de forma completa. El proceso es bastante sencillo, veamos como se realiza:

• Con centro en R y radio igual al segmento que forman O₁ y R trazamos un arco que corta a la circunferencia en el punto A.
• Ahora trasladamos el segmento que forman P y A sobre la recta s hallando el punto B.
• Trazamos una paralela a la recta s que corta a la circunferencia en el punto C
• Trasladamos el segmento que forman P y C sobre la recta S, hallando el punto D
• Con centro en B y radio igual al segmento que forman B y D trazamos un arco que corta a la recta s en el punto E
• El segmento que forman D y E es la rectificación buscada.

Como podéis comprobar el resultado recogido utilizando éste método es de 31,4626m bastante aproximado a los 31,4159 ideales. Esto nos arroja una precisión del 99,8515% y un margen de error de 0,0467cm para una circunferencia cuyo diámetro sea de 10cm. Es decir, como medio milímetro de error.

Solo a título informativo, os dejo a continuación una imagen muy gráfica que explica porqué éste método se llama «de los polígonos» y que seguro que os ayudará a memorizar la construcción de forma mucho más fácil.

Rectificación utilizando el método Mascheroni

Lorenzo Mascheroni fué un matemático italiano que vivió durante la segunda mitad del siglo XVIII y que logró una rectificación realmente precisa. Veamos como se realiza ésta construcción, que además es bastante sencilla:

• Sobre la recta s vamos a trasladar el diámetro de la circunferencia tres veces, hallando los puntos A, B y C.
• Trazamos una paralela a la recta s que para por O₁ hallando el punto de corte D con la circunferencia
• Con centro en D y radio igual al de la circunferencia trazamos un arco que corta a la circunferencia en el punto E
• Ahora trazamos una paralela a la recta s que pasa por E y que corta al diámetro PR en el punto F
• El segmento que forman F y C es la rectificación buscada

Fijaos lo realmente sencilla que es ésta construcción, y además lo precisa que es. Su valor arroja unos 31,4174 muy próximos a los ideales 31,4159. Esto nos da una precisión del 99,9954% y un margen de error de tan sólo 0.0014cm para una circunferencia de diámetro 10cm. Es decir, una centésima parte de un milímetro… ¡Casi diez micras!

Rectificación de una circunferencia (método anónimo)

Sinceramente, no se quién es el autor de éste método. Aparece en el volumen 2 de Dibujo Técnico de Editorial MAD, pero no se menciona al autor. Aun así, es muy interesante por lo preciso que resulta. Os explico como se realiza. Si por favor alguien sabe quien es el autor de esta rectificación, estaré muy agradecido si me dejáis algún comentario al respecto.

• En primer lugar, trazamos un diámetro horizontal de la circunferencia, que corta a la misma en los puntos A y B
• Acto seguido dividimos dicho segmento en cinco partes iguales usando el teorema de Tales, hallando los puntos P₂, P₃, P₄, P₅
• Con centro en A y radio igual al segmento que forman A y P₃ trazamos un arco que corta a la recta s en el punto C
• Trazamos una perpendicular a la recta s que pasa por el punto A y que corta al arco anterior en el punto D
• Trazamos un arco con centro en B y radio igual al segmento que forman B y P2, este arco corta a la recta s en punto E
• Con centro en E y con radio igual al segmento que forman E y D trazamos un arco que corta a la recta s en el punto F
• El segmento que forman C y F es la rectificación buscada.

Como podéis comprobar, el resultado según éste método es de 31,41641 lo cual es realmente aproximado a los 31,41592 del resultado ideal. Más preciso incluso que el método de Mascheroni. Por todo lo cual, podemos afirmar sin miedo a equivocarnos, que éste es el método más preciso de todos los anteriores para rectificar una circunferencia. Puedes comprobar que tiene una precisión del 99,9985% y un minúsculo margen de error de sólo 0.0005cm

Ayúdame a mejorar esta entrada

¿Hay algo que no entiendes? ¿Has descubierto una errata? Si es así, dime cuál y lo corregiré. ¿Crees que falta información o que hay algo que se podría mejorar? ¿Tienes un problema sin solución?
Al plantear tu duda ayudas a todas las personas que tienen la misma duda que tú, y me ayudas a enriquecer este artículo para hacerlo más útil para todos. Tus aportaciones ayudarán a todo el que lea este artículo después de ti. Gracias de antemano por dejar tu comentario un poco más abajo.