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De dibujo

Proporcionalidad y semejanza. Teorema de Tales

El tema de la proporcionalidad y semejanza es básico para poder desarrollar construcciones mucho más complejas, como polígonos regulares o el trabajo con triángulos y cuadriláteros. A continuación te explicaré los procedimientos más sencillos y habituales, referidos al nivel de primero de bachillerato.

Teorema de Tales, proporcionalidad y semejanza
Índice

    Hallar la media proporcional de dos segmentos.

    Hallar la media proporcional de dos segmentos no es hallar la media de dos números. Realmente la formula para verificar esta construcción es un poco más compleja, ya que la media proporcional de dos segmentos es la raíz cuadrada del producto de los dos segmentos que conocemos. Esto significa que la media proporcional de 5 y 9 no será 7. En su lugar será 6,7 centímetros. Puedes verificarlo con la calculadora.

    • La forma gráfica para hallarlo es realmente sencilla. En primer lugar, sobre una recta, dibuja ambos segmentos.
    • Ahora tienes que hacer la mediatriz para hallar el punto medio de ambos segmentos, al que puedes llamar O.
    • Con centro en O y radio hasta A ó C dibuja media circunferencia.
    • Levanta una perpendicular al segmento AC que pase por el punto B. El punto donde esa perpendicular corta a la media circunferencia que dibujaste antes tienes el punto D.
    • El segmento BD es la media proporcional de los segmentos AB y BC.
    Dibujar la media proporcional de dos segmentos

    Hallar la tercera proporcional a tres segmentos

    Cuando se habla de hallar la tercera proporcional a tres segmentos lo que se pretende hacer es una regla de tres con esta forma:
    A es a B como B es a X
    Esto se puede razonar de forma matemática. En el ejemplo que te pongo más abajo, puedes comprobar que B/A da exactamente lo mismo que X/B.

    Te voy a explicar dos posibles maneras de hallar la tercera proporcional, ambos válidos. No es necesario que aprendas los dos. Échales un ojo y el que más fácil te resulte, apréndelo.

    Para ambos ejemplos vamos a trabajar con dos segmentos de 3 y 2 centímetros respectivamente. De esa manera será una construcción pequeña que podrás realizar en tamaño A4 sin problemas.

    Método 1 para hallar la tercera proporcional

    • Para éste procedimiento empieza por dibujar una recta auxiliar y sobre esa recta dibuja ambos segmentos, teniendo cuidado de poner primero el más corto.
    • Por uno de los extremos dibuja una recta distinta que corte a la primera.
    • Sobre esa recta vuelve a dibujar el segmento más largo.
    • Une el punto B con D y traza una paralela a esa recta que pase por C. De esa manera obtienes el punto E.
    • El segmento que forman D y E es la tercera proporcional.
    Tercera proporcional a dos segmentos dados

    Método 2 para hallar la tercera proporcional a tres segmentos

    Este método es más rápido, aunque tal vez lo encuentres algo más confuso.

    • Empieza por dibujar una recta auxiliar, y sobre ella dibuja el segmento menor.
    • Dibujar una recta auxiliar que corte a la primera y sobre ella dibuja el otro segmento.
    • Con centro en A y radio hasta C, traza un arco, hallando el punto D.
    • Une B con C y luego haz una recta paralela a ésta que pase por D. De esa manera encuentras el punto E.
    • El segmento que forman A y E es la tercera proporcional que estás buscando.
    Como hallar gráficamente la tercera proporcional

    Hallar la cuarta proporcional a tres segmentos

    El método para hallar la cuarta proporcional a tres segmentos es lo que en matemáticas llamaríamos una regla de tres. La formula matemática vendría a ser algo similar a: A es a B como C es a X (donde X es una incógnita). El método es prácticamente el mismo que el primero que te explicaba más arriba para hallar la tercera proporcional de dos segmentos. Para este ejemplo utiliza tres segmentos de 2, 3 y 4cm. De tal manera que 2 es a 3 como 4 es a X.

    • Empieza por dibujar una recta auxiliar, y sobre dicha recta situa el primer segmento AB.
    • Dibuja una recta auxiliar que corte a la primera y que pase por A. Sitúa sobre ella el segmento AC.
    • Une los extremos de ambos segmentos, es decir, B con C.
    • A continuación del primer segmento dibuja el tercer segmento, BD.
    • Traza una paralela al segmento que forman B y C, que pase por D. El punto donde corta a la otra recta será E, que determina el segmento CE, cuarta proporcional de los otros tres.
    Hallar la cuarta proporcional de tres segmentos

    Primer teorema de Tales

    Tales de Mileto promulgó dos teoremas que reciben su nombre. Referido a éste apartado, el que a nosotros nos interesa ahora es el primer teorema de Tales, que dice así:

    «Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado.»

    Siempre teniendo en cuenta que cuando hablamos de triángulos semejantes, estamos hablando de triángulos que tienen todos sus ángulos iguales. Si esto se cumple, sus lados serán prorporcionales entre si. Todos los ejercicios que te he enseñado hasta ahora están basados en éste principio. Veamos como se resuelve:

    Supongamos que tenemos un segmento AB que mide 11cm, y lo queremos dividir en 7 partes iguales. Matemáticamente es un poco difícil, porque 11/7 es igual a 1.571428571428571. Si redondeamos podemos tener problemas, ya que en los últimos segmentos la desviación será mucho mayor.

    • Empieza por dibujar el segmento AB, y por uno de sus extremos dibuja una recta auxiliar.
    • Sobre esa recta auxiliar, con la ayuda de la regla, mide 7cm y márcalos.
    • Une el último de ellos con B, y traza paralelas por el resto.
    • Los puntos donde cortan esas paralelas determinan los puntos 1′, 2′, 3′, etc, que determinan siete partes iguales del segmento de 11 centímetros.
    Primer teorema de Tales (Thales), Dibujo Técnico de primero de bachillerato

    Como puedes comprobar, éste sistema te sirve para dividir cualquier segmento en cualquier número de partes. No tiene porque ser siete. Tampoco tiene por que ser en centímetros, puedes usar metros, o cualquier otra medida que se te ocurra.

     
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