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Circunferencias coaxiales y potencia

Todos estos ejercicios se solucionan aplicando los conceptos de circunferencias coaxiales, potencia y eje radical, aunque añadiendo también algún que otro concepto básico de trigonometría.

Rectas tangentes a dos circunferencias conociendo la longitud

En este ejercicio partimos de la base de dos circunferencias, y se nos pide hallar los puntos desde los cuales podemos trazar rectas tangentes cuya medida es conocida. En este caso en concreto, el valor es de 40mm. Para resolverlo debemos acordarnos del concepto de segmento representativo de Potencia, y luego asignaremos a ese valor el de la medida que nos solicitan. Ten en cuenta que puede variar si no se escala correctamente, por eso dejo la línea de referencia. Los pasos para resolverlo son los siguientes:

  1. En primer lugar debes hallar el eje radical de c1 y c2. Para ello traza una circunferencia cualquiera que corte a ambas circunferencias. Así obtienes los puntos A, B, C y D.
  2. Traza dos líneas que pasen por A y B por un lado, y por C y D por el otro. Donde ambas te cortan tienes el punto E.
  3. Ahora dibuja la línea que une los centros O1 y O2, y luego haz una perpendicular a esa línea que pase por E. Eso es el eje radical de ambas circunferencias.
  4. El siguiente paso es dibujar la circunferencia que contiene todos los puntos de tangencia de una de las dos rectas y que miden 40. Para ello basta con hallar un punto de esa circunferencia. ¿Cómo lo hacemos? Sencillo, dibujando una recta cualquiera tangente a una de ellas (yo lo he hallado con c1) y midiendo la distancia que te piden. Para hacerlo más fácil, el punto donde la línea que une O1 y O2 corta a la circunferencia c1, llámalo F.
  5. El siguiente paso es hacer una perpendicular a la línea que une O1 y O2 y que pasa por F. Sobre ella debes medir el valor que te dan, es decir, 40mm. Así hallarás G.
  6. Con centro en O1 y radio hasta G realiza un arco que corta al eje radical en los puntos H e I. Esos son los puntos que estás buscando.

Yo sólo he dejado dos tangentes para que puedas verificar el resultado, pero date cuenta de que en realidad hay 8 tangentes, 4 desde H y otras 4 desde I. Puedes mover G aquí abajo y verás como el resultado sigue siendo válido para distintos valores.

Dada la circunferencia de centro O y la recta r, determinar una circunferencia de radio 40mm cuyo eje radical con la de centro O sea r

Para resolverlo lo que debemos tener en cuenta varias cosas:

  1. Todas las circunferencias que comparten eje tienen los centros alineados.
  2. Además, serán tangentes a una circunferencia cuyo centro es la intersección del eje con la línea que une los centros.
  3. El radio de esa circunferencia es el segmento representativo de tangencia.

Sabiendo esto, lo que haremos será dibujar una circunferencia tangente a esa circunferencia y que cumpla las medidas que nos piden, y luego la «moveremos». Esto se resuelve así:

  1. Traza una perpendicular al eje que pase por O1. Al punto donde corta al eje lo llamaremos P y a la recta r.
  2. Dibuja una tangente a la circunferencia de centro O1 y que pasa por P. Así hallas el punto T.
  3. Ahora haz una perpendicular al segmento PT por el punto T, y sobre el mismo debes medir el radio que te piden, que es 40mm.
  4. Con centro en P y radio hasta R traza un arco que corta a la recta r en O2.
  5. Por último, sólo tienes que dibujar la circunferencia de centro O2 y radio 40mm.

Circunferencia que comparte eje con otras dos y es tangente a una recta

Para resolver este problema debes recordar el concepto de centro radical, ya que es el que te ayudará a resolver el problema. Date cuenta de que los puntos de tangencia sobre la recta corresponden al segmento representativo de potencia desde el centro radical a las circunferencias que se piden. Sabiendo esto, lo resolveremos así:

  1. Dibuja una circunferencia auxiliar que corte a las dos dadas para hallar su eje radicar.
  2. Donde ese eje radical corta a la recta dada tienes el centro radical de ambas circunferencias con la recta.
  3. Luego debes encontrar un punto de tangencia desde el centro radical a una de esas dos circunferencias (da igual cual). De esa manera tienes el segmento representativo de potencia, delimitado por el punto T.
  4. Con centro en Cr y radio hasta T, traza un arco que corta a la recta r en T1 y T2.
  5. Si haces perpendiculares por T1 y T2, hallarás los centros de las circunferencias que buscas donde cortan a la línea que une los centros de las circunferencias que conoces.

Circunferencia que tiene el mismo eje radical que otras dos y pasa por P

Este ejercicio se basa también en el concepto de potencia, eje radical y circunferencias coaxiales. Lo que haremos será hallar el centro radical de las dos circunferencias y de otra que obligaremos a pasar por P para hallar la solución.

  1. Dibuja una circunferencia cualquiera de centro O3 que corte a ambas circunferencias y que pase por P. De esa manera obtienes los puntos de corte A, B, C y D.
  2. Une A con C con una línea, y luego B con D con otra línea. Donde se cortan obtienes Cr, que es el centro radical de las tres circunferencias.
  3. Dibuja una línea que una Cr con P, donde esa línea corta a la circunferencia de centro O3 tienes F.
  4. Haz la mediatriz de PF y marca donde corta a la línea que une O1 y O2. Ese punto es O4, el centro de la circunferencia solución.
  5. Para terminar, con centro en O4 y radio hasta P, traza la solución.

Circunferencias coaxiales a dos conocidas y tangentes a una tercera

No te asustes al ver la imagen. Este ejercicio es largo, pero no es complicado en exceso. Te recomiendo poner la imagen a pantalla completa e ir haciendo zoom para verlo mejor. Lo que se pide en este ejercicio es hallar las circunferencias que son coaxiales (es decir, que comparten el mismo eje radical) que las de centro O1 y O2, y que además sean tangentes a la circunferencia de centro O3.

  1. Empieza dibujando una circunferencia cualquiera de centro O4, que corta a las de centros O1 y O2 en A, B, C y D.
  2. Donde se cortan las líneas que pasan por A y C y por B y D tienes E. Luego haz una perpendicular a la línea que une O1 y O2 y que pase por E para hallar el eje1.
  3. El siguiente paso es hallar otro eje radical. Dibuja una circunferencia cualquiera de centro O5 que corte a las circunferencias de centro O1 y O3. Los puntos de corte llámalos F, G, H e I.
  4. El punto J lo obtienes al trazar las líneas que pasan por H y F por un lado, y por G e I por el otro.
  5. Traza una perpendicular al segmento que une O1 y O3 y que pase por J. Ese es el eje2.
  6. Donde eje1 y eje2 se cortan tenemos el centro radical Cr.
  7. Ahora marca los puntos de tangencia T1 y T2 de las rectas que pasan por Cr y son tangentes a la circunferencia de centro O3.
  8. Une O3 con T1 y prolonga esa línea hasta cortar a la que une los centros O1 y O2. El punto de corte es O6, el centro de la primera solución. Con centro en O6 y radio hasta T1 puedes trazarla.
  9. Para terminar, une O3 con T2 y prolonga hasta cortar a la línea que une O1 y O2. El punto de corte será O7, centro de la última solución. Con centro en O7 y radio hasta T2 puedes dibujarla y terminar el ejercicio.
 
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