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De dibujo

Abatimiento de planos en el sistema diédrico

Cuando se habla de abatimiento de planos en el sistema diédrico se refiere a que un plano se gira sobre la traza de intersección de otro. Por ejemplo, si tenemos un plano α y un plano β que se cortan en una recta r, el plano β se abate sobre el plano α girándolo sobre la recta r. Este tipo de procedimientos son muy útiles a la hora de resolver ejercicios, en especial cuando hablamos de verdaderas magnitudes, intersecciones, pertenencias y demás.

Índice

    Abatimiento de un plano oblicuo sobre el plano horizontal

    Cuando tienes una forma (un triángulo, por ejemplo) sobre un plano oblicuo (es decir, que no es paralelo a los planos de proyección), lo verás deformado. Debido al ángulo que forma, siempre será más pequeño que el tamaño original. Al abatir ese plano sobre el plano horizontal, podrás ver esa figura en su verdadera magnitud y sin deformar.

    La traza del plano oblicuo sobre el plano horizontal será el eje de giro. Los puntos abatidos y las proyecciones sobre el plano horizontal se relacionan mediante perpendiculares con el eje de giro. Para que lo entiendas mejor, aquí abajo tienes una demostración práctica. El triángulo ABC se encuentra sobre el plano α. Si te fijas el triángulo que forman A1, B1 y C1 se encuentra deformado, y además es más pequeño que el original.

    Abatir el plano significa girarlo para que se quede «plano» de esa manera el triángulo proyectado sobre el plano horizontal tendrá su verdadero tamaño. Para representar esto, puedes mover el punto P para que coincida con la línea de tierra. Un poco más abajo te explico como se resuelve esto en diédrico.

    Abatimiento cuando el plano es perpendicular a uno de los planos proyectantes

    Vamos a empezar por la situación más sencilla de todas, cuando el plano sobre el que se encuentra la figura es perpendicular a uno de los planos proyectantes. Da igual si es sobre el plano horizontal, el vertical, o incluso el plano de perfil. Para este ejemplo, para que lo veas más fácil, te voy a proponer un ejercicio similar al que ver más arriba. El plano sobre el que se encuentra la figura es perpendicular al plano vertical.

    Tu punto de partida es el triángulo definido por los puntos A, B y C. Los puntos A1, B1 y C1 son las proyecciones de los puntos sobre el plano horizontal. Pero el triángulo que forman está deformado, ya que forma un ángulo oblicuo. Los puntos A2, B2 y C2 son las proyecciones de los puntos sobre el plano vertical.

    1. Para empezar, dibuja perpendiculares al eje de giro que pasen por A1, B1 y C1. Date cuenta que cuando abatimos un plano, los puntos resultantes se encontrarán perpendiculares al eje de giro.
    2. Lo siguiente que debes hacer es trazar arcos que vayan desde O a cada uno de las proyecciones verticales de los puntos, es decir, A2, B2 y C2. Donde esos arcos cortan a la línea de tierra tienes los puntos A2‘, B2‘ y C2‘.
    3. Dibuja perpendiculares a la línea de tierra que pasen por cada uno de esos puntos. Donde la perpendicular que pasa por A2‘ corta a la paralela a la línea de tierra que pasa por A1 tienes el punto A1‘.
    4. Donde la perpendicular que pasa por B2‘ corta a la paralela que pasa por B1 tienes el punto B1‘.
    5. Ya por último, donde la perpendicular que pasa por C2‘ corta a la paralela que pasa por C1 tienes el punto C1‘.
    6. Uniendo A1‘, B1‘ y C1‘ tienes el triángulo ABC en verdadera magnitud.

    Abatimiento de planos oblicuos a todos los planos proyectantes

    Para empezar, te voy a explicar como abatir un plano oblicuo a todos los planos proyectantes. Un simple plano, sin ninguna figura contenida en el mismo, ni otra complicación adicional.

    1. Marca un punto cualquiera sobre la traza vertical del plano. A ese punto llámalo P.
    2. Dibuja una recta perpendicular a la línea de tierra que pase por P. Al punto de corte con la línea de tierra llámalo R.
    3. Ahora traza una línea perpendicular a la traza horizontal del plano que pase por R.
    4. Con centro en O (el punto donde se cortan ambas trazas) y con radio hasta P, traza un arco. Donde ese arco corta a la perpendicular que dibujaste en el paso anterior, tienes el punto P’.
    5. Si unes O con P’ tienes el abatimiento del plano oblicuo sobre el plano horizontal.

    Como hallar la verdadera magnitud de un segmento contenido en un plano oblicuo

    Vamos a suponer que queremos hallar la verdadera magnitud del segmento que forman el punto T y el punto A. La longitud que puedes ver en diédrico no es real, ni en el plano horizontal, ni en el plano vertical. Por ese motivo debes hacer un abatimiento para poder hallar su verdadera magnitud.

    1. Empieza por dibujar una paralela a la línea de tierra que pase por el punto que quieres abatir hasta cortar a la traza vertical del plano. De esa manera obtienes el punto P.
    2. Ahora dibuja una perpendicular a la línea de tierra que pase por el punto P hasta cortar a la línea de tierra en el punto R.
    3. Dibuja una perpendicular a la traza horizontal del plano que pase por el punto R.
    4. Ahora dibuja un arco con centro en O y radio hasta P. Donde ese arco corta a la perpendicular que dibujaste antes tienes el punto A2‘.
    5. La línea que une O con A2‘ es el abatimiento de la línea que une O con P.
    6. Para continuar, dibuja una paralela a la traza horizontal del plano que pase por A2‘.
    7. Ahora dibuja una perpendicular a la traza horizontal del plano que pase por A1. Donde esta línea corta a la anterior tienes el punto A1‘. La distancia entre A1‘ y T es la verdadera magnitud del segmento que forman T y A.

    Abatimiento de un triángulo contenido en un plano oblicuo

    Ahora que ya has aprendido a abatir planos y a hallar verdaderas magnitudes, toca avanzar un paso más. Te voy a explicar como hallar la verdadera magnitud de una forma (en este caso un triángulo) contenida en un plano oblicuo. Antes de empezar, hay un concepto que debes tener claro y que te ayudará mucho con este tipo de ejercicios. Siempre que abates un plano, date cuenta de que los puntos se desplazan de forma perpendicular al eje de rotación. De esa manera sabes en que dirección debes medir, aunque no sepas la cantidad. Eso te puede facilitar el resto del ejercicio.

    Ejercicio resuelto de abatimiento de planos en sistema diédrico

    Tu punto de partida es algo similar a lo que tienes aquí arriba. Puedes pulsar sobre la imagen para imprimirla en un DIN A4 y así poder practicar.

    Así pues, tienes el triángulo formado por A, B y C, que se encuentra contenido dentro del plano α. Las proyecciones del triángulo sobre el plano horizontal son A1, B1 y C1 y la traza del plano sobre el mismo es α1. Por otra parte, las proyecciones sobre el plano vertical son A2, B2 y C2 y la traza del plano sobre el plano vertical es α2.

    1. En primer lugar debes abatir el plano. En un principio te vale cualquier punto de la traza vertical, pero si usas uno que luego vayas a utilizar para otra cosa te ahorras trabajo. Así pues, realiza una línea paralela a la línea de tierra que pase por A2. Donde esa paralela corta a la traza vertical del plano tienes el punto D.
    2. Dibuja una perpendicular a la línea de tierra que pase por D, donde esa perpendicular corta a la línea de tierra tienes el punto E.
    3. Ahora traza una perpendicular a la traza horizontal del plano que pase por E.
    4. Con centro en O (el punto donde se cortan las trazas del plano), traza un arco con radio hasta D. Donde ese arco corta a la perpendicular que trazaste antes tienes el punto D’.
    5. La recta que pasa por O y D’ representa el abatimiento de la traza vertical del plano sobre el plano horizontal.
    6. A continuación puedes hallar el abatimiento del punto A. Para ello debes realizar una paralela a la traza horizontal del plano que pase por D’.
    7. Lo siguiente que debes hacer es una perpendicular a dicha traza que pase por A1. Donde esa perpendicular corta a la paralela que dibujaste antes tienes el punto A.
    8. Para hallar el abatimiento del punto B debes repetir el proceso. Empieza por dibujar una paralela a la línea de tierra que pase por B2. Donde esa paralela corta a la traza vertical del plano tienes el punto K.
    9. Con centro en O y radio hasta K, traza un arco que corte al abatimiento de la traza vertical del plano. De esa manera hallas el punto K’.
    10. Traza una paralela a la traza horizontal del plano que pase por K’
    11. Ahora dibuja una perpendicular a la traza horizontal del plano que pase por B1. Donde esa perpendicular corta a la paralela que dibujaste antes tienes el punto B.
    12. El último paso para terminar será hallar la verdadera magnitud de C. Para ello dibuja una paralela a la línea de tierra que pase por C2 y que corte a la traza vertical del plano. El punto de corte será H.
    13. Con centro en O y radio hasta H, dibuja un arco que corte al abatimiento de la traza vertical del plano en el punto H’.
    14. Dibuja una paralela a la traza horizontal del plano que pase por H’.
    15. Para terminar, dibuja una perpendicular a la traza horizontal del plano que pase por C1. Donde esta recta corta a la que dibujaste en el paso anterior tienes el punto C.
    16. El triángulo ABC es el abatimiento del triángulo contenido en el plano, y por tanto, su verdadera magnitud.
     
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