Las rectas tangentes a la elipse son desde mi punto de vista los ejercicios de tangencias a curvas cónicas más sencillos que hay. Además, una vez conozcas los procedimientos y elementos, te darás cuenta de que hallar las tangentes a cualquier otro tipo de curva cónica es prácticamente igual.
Recta tangente a una elipse por un punto de la misma
Se nos pide hallar las rectas tangentes a una elipse conocidos el eje mayor AB y el eje menor CD y que pasan por un punto T que pertenece a dicha elipse. Si no conocemos los focos, el primer paso será hallarlos. Si los conocemos, trazamos la circunferencia focal que corresponde al foco más alejado del punto. En éste caso F’.
Tu punto de partida será algo semejante a ésto:
Prolongamos la recta que parte de F’ y pasa por T hasta cortar a la circunferencia focal en el punto Q. Una vez conocido esto, si trazamos la bisectriz del ángulo FTQ, habremos hallado la tangente buscada. Tened en cuenta que en éste caso solo encontraremos una única recta al tratarse de un punto propio a la elipse.
Imagina que al tratar de dibujar la circunferencia focal te das cuenta de que el punto Q queda fuera del plano. Entonces tienes otra solución posible. Dibuja la bisectriz del ángulo que forman F, B y F’ y después dibuja la perpendicular a dicha recta por el punto T.
Aquí abajo tienes una aplicación interactiva de ambas soluciones para que puedas verificar el resultado.
Si todavía no te ha quedado claro, aquí abajo tienes un vídeo para ver como se resuelve este ejercicio.
Una variante: ¿Dónde está el punto de tangencia?
Hay una variante habitual de este ejercicio en el que te dan todos los datos, incluidos los focos, los ejes, la elipse y la recta tangente. Lo único que se pide es marcar con precisión el punto de tangencia. Tu punto de partida es algo similar a esto.
En realidad es mucho más sencillo de lo que imaginas. Si te fijas en el ejercicio anterior, la recta que pasa por un foco y el punto de tangencia corta a la circunferencia focal en un punto que es simétrico del otro foco. Vale, tal vez te halla liado un poco. Vamos a ponerlo sencillo…
- Haz una recta perpendicular a la tangente y que pase por F. Marca el punto donde esa perpendicular, puedes llamarlo A.
- Pincha con el compás en A, y abre hasta el foco F. Gira el compás y marca el punto B. Ese punto es simétrico del foco F y está en la circunferencia focal (no es necesario que la dibujes).
- Para terminar, une B con F’. Donde esta línea corta a la elipse tienes el punto de tangencia T.
Rectas que pasan por un punto exterior y son tangentes a la elipse
En éste caso se nos pide hallar las rectas que pasan por un punto externo a la elipse y que son tangentes a la misma. Como en el caso anterior, se nos proporcionan los dos ejes. Si no se nos indican los focos, deberemos hallarlos para poder continuar. Tu punto de partida debería parecerse a lo siguiente:
Al igual que en el ejercicio anterior, dibujamos una de las circunferencias focales de la elipse. En éste ejemplo he elegido la de F’. Acto seguido, con centro en P y radio PF dibujaremos un arco de circunferencia que corta a la circunferencia focal en los puntos Q y R.
Une los puntos Q y R con F’. En los puntos donde esos segmentos cortan a la elipse tienes los puntos de tangencia T1 y T2
Para terminar, solo tienes que dibujar las rectas que pasan por P y cada uno de los puntos de tangencia. En la aplicación interactiva de aquí abajo puedes mover los puntos A y B para cambiar el tamaño y forma de la elipse. También puedes mover el punto P para ver como se calculan sus tangentes.
Para que veas más claro el proceso, aquí tienes un vídeo donde explico el proceso completo. Si no sabes como hallar los focos de la elipse, puedes echarle un ojo a la sección de primero de bachillerato donde explico como hallar los focos de la elipse.
Rectas tangentes a una elipse y que son paralelas a una recta dada
En ésta ocasión, aparte de una elipse (o de la información para dibujarla) se nos proporciona una recta r y se nos solicita encontrar las rectas tangentes a la elipse que son paralelas a dicha recta. Tu punto de partida debería ser parecido a ésto:
Como puedes comprobar, le he añadido un componente extra de dificultad al no proporcionarte ni los ejes ni los focos. Si no sabes como dibujarlos, te recomiendo visitar la entrada donde explico como hallar los ejes de una elipse.
Si no conocemos los focos, lo primero que debemos hacer es hallarlos. Una vez hallados éstos, dibujaremos la circunferencia focal por uno de los focos. Yo he dibujado la de F’.
Ahora dibuja una recta perpendicular a la recta r que pase por el otro foco. Los puntos donde corta la circunferencia focal que dibujaste antes son Q y R.
Si trazamos los segmentos F’Q y F’R, encontraremos los puntos de tangencia T1 y T2 en los lugares donde dichos segmentos cortan a la elipse. Ahora solo tienes que dibujar paralelas a la recta r que pasan por cada uno de esos puntos para hallar la solución.
Aquí tienes un vídeo donde puedes ver todo el proceso.
Elipse inscrita en un triángulo
Este ejercicio suele presentarse combinado con alguno que implique el conocimiento de los puntos notables del triángulo. Lo más habitual es partir de un triángulo y te piden hallar uno de los puntos notables (ortocentro, incentro, baricentro o circuncentro), para después indicar que ese punto es uno de los dos focos de la elipse. En algunas ocasiones incluso complican la construcción del triángulo, dándolo incompleto para que lo termines de dibujar implicando el arco capaz, la altura, o algún otro elemento. Como puedes imaginar es un ejercicio muy complejo y completo. Aquí te pongo la versión más habitual que te puedes encontrar en la EVAU. Tu punto de partida será algo parecido a esto.
Tu punto de partida es el triángulo ABC, y se te indica que el ortocentro del triángulo es uno de los dos focos de la elipse inscrita. Dicho eso, te piden hallar los ejes de la elipse. Como es lógico, si no hallas primero el otro foco, eso es imposible.
Me voy a saltar la parte de hallar el ortocentro, asumo que sabes hacerlo sin problema. Si no sabes como, echa un ojo aquí.
El ortocentro es el punto D. Si recuerdas como se trazaban las tangentes a la elipse, te darás cuenta de que los lados del triángulo son las rectas tangentes. Además, si dibujas los puntos simétricos a D respecto de los lados del triángulo, esos puntos están en la circunferencia focal.
Dibuja los puntos simétricos a D respecto a los lados del triángulo. Esos son D1, D2 y D3.
Una vez mas… ¿Recuerdas como se trazaban las tangentes a la elipse? ¿Cómo podíamos localizar los puntos de tangencia? Los puntos que acabas de hallar están en la circunferencia focal. Haz la mediatriz de D1 y D2, y después la mediatriz de D2 y D3. Donde esas mediatrices se cortan tienes el punto E, que es el otro foco de la elipse.
Ya tienes parte del problema resuelto, que es conocer los dos focos de la elipse. Dibujar los ejes no es complicado. Empieza por trazar la línea que une D y E (los dos focos), ya que sobre esa línea está el eje mayor. Luego dibuja la mediatriz de E y D. Sobre esa mediatriz tienes el eje menor (ya veremos luego donde están sus extremos). El punto donde esa mediatriz corta a la recta que une D y E es el centro de la elipse, al que llamaremos O.
La circunferencia focal tiene de diámetro el tamaño del eje mayor, ¿recuerdas? El diámetro de la circunferencia focal es la distancia entre E y cualquiera de los puntos simétricos a D, por ejemplo D1. Así pues, dibuja la mediatriz de E y D1 para hallar el punto medio, M.
Pincha con el compás en M y mide hasta E. Eso es el semieje mayor. Ahora, con esa misma medida, pincha en O y mide sobre la línea que pasaba por D y E. Así obtendrás los puntos Q y R, que son los extremos del eje mayor.
Sigue con el compás en la mano, pincha en uno de los focos (D, por ejemplo) y corta con esa medida a la mediatriz de E y D. Acabas de obtener los puntos N y P, que son los extremos del eje menor.
Para concluir, si te piden hallar los puntos de tangencia, une E con D1, D2 y D3. Donde esas líneas cortan al triángulo tienes T1, T2 y T3, los puntos de tangencia.
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