Dentro del campo de las transformaciones geométricas, es interesante hablar tanto de la proyectividad como de la homografía. A continuación te las explicaré en profundidad para que puedas entender también la relación que guardan con conceptos más complejos como son la afinidad y la homología.
Proyectividad
Cuando hablamos de proyectividad nos referimos a la proyección de haces desde un punto fijo llamado centro de proyección. En la aplicación de aquí abajo correspondería al punto V. Estos haces proyectados nos permiten cambiar un punto de un plano a otro. Por lo tanto, uniendo puntos podemos proyectar rectas o líneas curvas, y finalmente figuras más complejas. La geometría proyectiva es la rama de la geometría que estudia las propiedades geométricas de la proyectividad.
Aquí abajo puedes mover el punto V (centro de proyección), el punto P para abatir el plano vertical, y los puntos A, B y C para modificar el triángulo resultante.
Homografía
La homografía estudia la relación existente entre puntos, líneas o figuras y sus proyecciones. A cada elemento de la figura original le corresponde otro del mismo tipo en la figura resultante. Esto se refiere a que a cada punto le corresponde un punto, a cada línea una línea, y así sucesivamente. Se dice que dos secciones planas de una misma radiación de centro V son homográficas.
Tipos de proyección
Hablando de proyectividad, podemos encontrar dos tipos distintos de proyección:
Proyección central o cónica
En este tipo de proyección todos los haces proyectivos parten de un punto conocido. Este punto, llamado centro de proyección se dice que es un punto propio. Es decir, es un punto que podemos ubicar, y se identifica con la letra V. Si se proyecta sobre un plano α un punto A, la proyección será la intersección de la recta (haz proyectivo) que pasa por A y V con el plano α. En el ejemplo inferior lo tienes representado con la letra A’
Proyección paralela o cilíndrica
En este caso, se considera que el centro de proyección se encuentra en el infinito. Cuando el punto está en el infinito se dice que es un punto impropio. Esto significa que los haces proyectantes son paralelos entre si. Este tipo de proyección se corresponde a la imagen que ves aquí abajo. Puedes mover el punto P para abatir el plano vertical. También puedes mover los puntos A, B y C para modificar el triángulo. Por último, puedes mover el punto B’ para modificar la dirección de los haces proyectivos. Dentro de este tipo de proyección podemos distinguir dos tipos distintos de proyección, dependiendo de la situación de los haces proyectantes con respecto al plano sobre el que se proyecta.
Proyección cilíndrica oblicua
En éste caso los haces proyectantes forman un ángulo oblicuo con el plano de proyección. El ejemplo sería el que ves aquí abajo, como cuando los rayos del sol entran por la ventana.
Proyección cilíndrica ortogonal
Para la proyección cilíndrica ortogonal, los haces proyectantes forman un ángulo de 90 grados respecto al plano proyectante. Es decir, los haces son perpendiculares al plano.
Sistemas de representación
Los sistemas de representación son una serie de técnicas y procedimientos empleados para representar formas tridimensionales sobre el plano. Se trata de establecer relaciones precisas entre los cuerpos que se encuentran en el espacio real y sus representaciones sobre el plano. Todos ellos están basados en alguno de los sistemas proyectivos que tienes más arriba. El sistema diédrico, el axonométrico ortogonal, y el sistema de planos acotados se basan en proyecciones cilíndricas ortogonales. Por otra parte, el sistema axonométrico oblicuo y sus variantes (caballera y militar) se basa en la proyección cilíndrica oblicua. En último lugar, los sistemas cónicos, como su propio nombre indica, se basan en proyecciones cónicas.
Los principales sistemas de representación son los siguientes.
Sistema diédrico
El sistema diédrico es uno de los más utilizados en geometría descriptiva. Consiste en la proyección cilíndrica ortogonal sobre los planos proyectantes. Se suele utilizar sobre todo para la representación de planos de todo tipo. Si quieres más información, puedes visitar la entrada donde hablo del sistema diédrico.
Sistema axonométrico ortogonal
En el sistema axonométrico ortogonal los objetos se proyectan en perpendicular sobre el plano de proyección. Dentro del mismo se pueden encontrar tres variantes: Isométrico, dimétrico y trimétrico. De estos tres, en bachillerato se estudia el sistema axonométrico.