Saltar al contenido
De dibujo

Tangencias en Geometría, propiedades y características

En Geometría y en su aplicación a través del dibujo técnico, nos podemos encontrar con multitud de aplicaciones de tangencias o de enlace de líneas que pueden presentar un grado de mayor o menor complejidad. En ésta ocasión, me quiero centrar en especial sobre aquellos tipos de problemas de rectas y circunferencias tangentes que presentan algún tipo de aplicación práctica a la hora de resolver problemas que implican formas geométricas. El resto de problemas tienen un interés sobretodo geométrico y de resolución de problemas más complejos.

Índice

    Propiedades de las tangencias

    Se puede decir que una recta y una circunferencia, o dos circunferencias, son tangentes cuando solo tienen en común un único punto. Así pues, podemos afirmar que las tangencias o enlaces de líneas se basan en las siguientes propiedades:

    1. Cuando dos circunferencias son tangentes entre si, el punto de tangencia se encuentra en la línea que une los centros de ambas.
    2. En el caso de que una recta sea tangente a una circunferencia, el punto de tangencia correspondería al pie de la perpendicular trazada desde el centro de la circunferencia a dicha recta.
    3. Si una circunferencia es tangente a dos rectas que se cortan, entonces el centro de la circunferencia se encuentra en la bisectriz del ángulo que forman dichas rectas.
    4. En cualquier cuerda de circunferencia, su mediatriz pasa por el centro de la circunferencia, de modo que divide en dos partes iguales no solo la propia cuerda, sino la circunferencia y el arco que define.

    Para resolver problemas de tangencias debemos tener muy en cuenta los datos que se nos proporcionan y lo que se nos solicita. En todo momento debemos ser capaces de razonar las construcciones que realicemos paso a paso, explicando el «porqué» de nuestras acciones. Debemos tener en cuenta que en más de una ocasión nos encontraremos con determinados problemas que nos brindan la posibilidad de encontrar más de una respuesta válida.

    Trazado de rectas tangentes

    Recta tangente a una circunferencia que pasa por un punto de la misma

    Ante éste problema se nos pueden plantear dos situaciones diferentes. En el primero de ellos conocemos el centro de la circunferencia. Esta es la situación más común a la que nos podemos enfrentar. En la segunda la circunferencia es tan grande que el centro de la misma está fuera de la hoja, por lo que trabajamos solo con un arco. Vamos a ver como solucionarlos.

    • En primer lugar, unimos el centro de la circunferencia con el punto de tangencia T. Éste segmento lo vamos a prolongar un poco más porque luego lo necesitaremos.
    • Ahora debemos hallar la recta perpendicular al segmento O1T.
    • Esa recta perpendicular será la tangente que estamos buscando.

    Rectas tangentes a una circunferencia por un punto exterior de la misma

    Sin duda alguna, éste es el problema más recurrente en el tema de tangencias. Creeme cuando te digo que éste problema se te debe grabar a fuego. Si no te aprendes bien éste ejercicio, serás totalmente incapaz de realizar casi ninguno de los que siguen, o de niveles más avanzados, como de segundo de bachillerato.

    • Primero debes dibujar la recta que une el punto P con el centro de la circunferencia.
    • ¿Te acuerdas del concepto de mediatriz? Pues debes dibujar una mediatriz para hallar el punto medio de ese segmento que acabas de dibujar.
    • Con centro en ese punto medio, y radio hasta P, tienes que trazar un arco que cortará a la circuferencia inicial en los puntos T1 y T2
    • Para finalizar, une P con los puntos T1 y T2 y verás que esas son las rectas que estás buscando.

    Recta tangente a un arco por un punto del mismo

    En éste caso se nos pide hallar la recta tangente a un arco de circunferencia cuando conocemos el punto de tangencia T sobre el mismo. El problema en éste tipo de situaciones es que la circunferencia es tan grande que el centro de la misma se encuentra fuera del plano. Por ese motivo debemos proceder de otra manera.

    • Para empezar, desde el punto de tangencia T, con un radio cualquiera, trazamos un arco que cortará al arco conocido en un punto. A éste punto lo vamos a llamar R.
    • Con centro desde R y exactamente el mismo radio, trazamos otro arco que cortará en el punto S al arco inicial.
    • Trazamos un arco con centro en T y radio TS. Donde ese arco corta al que tiene centro en R y radio RS, tenemos un punto que se encuentra sobre la recta tangente.
    • Uniendo el punto recién obtenido y T, estaremos dibujando la recta tangente al arco que pasa por el punto T.

    Rectas tangentes a una circunferencia y paralelas a una recta dada

    En ésta ocasión se nos pide hallar las dos rectas tangentes a una circunferencia dada de centro O1 y que además son paralelas a una recta r que conocemos.

    • Lo primero que tienes que hacer es dibujar una recta perpendicular a la recta conocida r, pero que pase por el centro de la circunferencia.
    • Los puntos donde esa recta perpendicular corta a la circunferencia nos determinan los puntos de tangencia T1 y T2
    • Si trazamos paralelas a la recta original r, por los puntos T1 y T2 tendremos las dos rectas tangentes que estamos buscando.

    Aquí abajo tienes una aplicación interactiva para comprobarlo. Puedes mover los puntos P y R para verificar la construcción.

    Rectas tangentes exteriores a dos circunferencias

    Este es otro problema muy típico de problemas de tangencias de primero de bachillerato. Conocemos dos circunferencias y se nos pide hallar las rectas tangentes exteriores a ambas.

    • Empieza trazando la línea que une los centros de las dos circunferencias. El punto donde esa recta corta a la circunferencia de radio mayor, llámalo A.
    • Ahora mide con el compás el radio de la circunferencia menor, representado en este caso por el segmento O1P y lleva esa misma medida desde el punto A, hallando el punto B. Como aclaración, la circunferencia de radio O2B es la resta de ambas circunferencias.
    • A continuación tienes que hallar los puntos de tangencia del centro O1 con la circunferencia de centro O2 y radio O2B
    • Para ello, traza la mediatríz del segmento que forman O1 y O2 para hallar el punto medio C
    • Con centro en C y radio hasta O2 traza un arco que corta a la circunferencia de centro O2 y radio hasta B. Los puntos de corte son T1 y T2
    • Dibuja líneas que pasen por T1 y T2 y prolóngalas hasta cortar a la circunferencia mayor. Los puntos de corte son T3 y T4
    • Si ahora trazas perpendiculares a los radios que forman O2 y T3 por un lado y O2 y T4 por el otro, tendrás las rectas tangentes que buscas.

    Rectas tangentes interiores a dos circunferencias

    Este ejercicio es similar, solo que en ésta ocasión lo que te piden son las rectas tangentes interiores. Es decir, las que pasan entre las dos circunferencias.

    • Empieza por trazar una recta que una los centros de las dos circunferencias. Los puntos de corte con las circunferencias serán P para la pequeña y A para la grande
    • Mide con el compás el radio de la circunferencia pequeña, determinado por el segmento que forman O1 y P
    • Con esa medida, dibuja un arco que corte a la línea que une O1 y O2 en el punto B. Como aclaración, la circunferencia de radio O2B es la suma de ambas circunferencias.
    • Dibuja pues a circunferencia de radio O2B
    • Halla los puntos de tangencia del centro O1 con la circunferencia que acabas de dibujar. Para ello halla el punto medio de ambos centros, que llamaremos C. Con centro en C y radio O2C dibuja un arco que corte a la circunferencia de radio O2B. Los puntos de corte son T1 y T2
    • Ahora dibuja líneas que unan T1 y T2 con el centro O2. Los puntos donde esas líneas cortan a la circunferencia grande son T3 y T4
    • Para terminar, si trazas perpendiculares a esas líneas por los puntos T3 y T4 tienes las rectas tangentes interiores a las dos circunferencias.

    Tanto para este ejercicio, como para el anterior (o cualquier otro) si te piden hallar todos los puntos de tangencia, recuerda que solo tienes que hacer perpendiculares a las rectas tangentes que pasen por los centros de las circunferencias. Recuerda: Cualquier recta tangente a una circunferencia SIEMPRE es perpendicular al radio en el punto de tangencia.

     
    Más