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De dibujo

Perpendicularidad entre rectas en sistema diédrico

Hay un concepto que debes tener en cuenta cuando hablamos de perpendicularidad entre rectas en sistema diédrico. Date cuenta de que dos rectas perpendiculares en el espacio no tienen porqué tener sus proyecciones perpendiculares en sus proyecciones sobre los planos proyectantes en diédrico. Bueno, hay una excepción. Cuando se cumple el Teorema de las tres perpendiculares si que son perpendiculares entre si. Si te estás preguntando que es eso del Teorema de las tres perpendiculares, te lo explicaré. Este teorema dice que:

«Si por el pie de una perpendicular r a un plano trazamos una recta perpendicular s a una recta t contenida en el plano, todo segmento que una el punto de intersección de estas dos últimas (s y t) con un punto P cualquiera de la perpendicular al plano será perpendicular a la recta contenida en el plano.»

De la misma manera, si las proyecciones ortogonales son perpendiculares y una de ellas es paralela o pertenece al plano, entonces las rectas también son perpendiculares en el espacio. Los ejercicios más comunes que te puedes encontrar sobre este tipo de problemas suelen pedirte que una recta sea perpendicular a otra y que pase por un punto concreto.

Índice

    Recta perpendicular a r que pasa por A

    Como te decía antes, en este tipo de ejercicios conoces una recta determinada r. Esta recta la definen sus proyecciones horizontal y vertical r1 y r2. También conoces un punto del plano A determinado por las proyecciones vertical y horizontal A1 y A2.

    Este ejercicio es bastante complejo, ya que para poder realizarlo correctamente necesitas saber realizar varios procedimientos previos. En primer lugar necesitas saber cómo dibujar un plano perpendicular a una recta que pasa por un punto. También necesitas saber cómo hallar la intersección entre una recta y un plano. Tu punto de partida será algo parecido a ésto:

    Como dibujar una recta perpendicular a otra que pasa por un punto en sistema diédrico. Ejemplos de ejercicios y problemas resueltos.
    1. El primer paso será dibujar un plano perpendicular a la recta y que pase por A. Para ello primero debes dibujar una recta frontal que esté contenida en el plano y que pase por A. Así pues, dibuja una línea perpendicular a la traza vertical de la recta y que pase por A2. Donde esa recta corta a la línea de tierra tienes el punto B2.
    2. Ahora dibuja una recta paralela a la línea de tierra que pase por A1. Sobre esa línea tendrás la proyección horizontal de la recta frontal. Dibuja una perpendicular a la línea de tierra que pase por B2. Donde esa perpendicular corta a la paralela que pasa por A1 tienes B1, que es la traza horizontal de la recta frontal. Date cuenta de que B1 se encuentra sobre la traza horizontal del plano perpendicular.
    3. Traza una perpendicular a la proyección horizontal r1 de la recta original y que pase por B1. Esa es la traza horizontal del plano vertical. Donde esa recta corta a la línea de tierra tienes el punto C.
    4. Dibuja una recta perpendicular a la proyección vertical r2 de la recta. Esa es la traza vertical del plano perpendicular. Ahora que ya conoces el plano perpendicular a la recta original, el siguiente paso será hallar la intersección con esa recta. Para ello recuerda que debes dibujar un plano proyectante vertical que contenga a la recta.
    5. Las trazas de ese plano proyectante serán la proyección vertical r2 de la recta, y una recta perpendicular a la línea de tierra que parta desde el punto de intersección de esa proyección con la línea de tierra. En este caso ese punto equivale tanto a F2 como a H1. Ten en cuenta que se superponen.
    6. Ahora debes hallar la intersección de esos dos planos, el proyectante vertical y el perpendicular a la recta. El punto donde ambas trazas verticales se cortan es el punto D2. Dibuja una perpendicular a la línea de tierra por ese punto para hallar la proyección horizontal del mismo, que puedes llamar D1.
    7. Donde las trazas horizontales de ambos planos se cortan tienes el punto H1. La recta que va de D a H es la intersección de ambos planos. En diédrico se representa uniendo D2 con H2 por un lado, y D1 con H1 por el otro. Donde esa línea corta a la original tienes el punto I. En este caso la línea que va de D2 a H2 corta a la proyección vertical r2 de la recta en el punto I2.
    8. Por otra parte, la línea que va de D1 a H1 cortará a la proyección horizontal r1 de la recta original en el punto I1.
    9. La recta que estás buscando la obtienes uniendo I2 con A2 por un lado, y A1 con I1 por el otro.
    10. Para terminar, los puntos J y K determinan las trazas de esa recta sobre los planos proyectantes.

    Te recomiendo ponerlo a pantalla completa y hacer zoom sobre las distintas zonas para poder ver el resultado, ya que son muchos puntos y líneas todos juntos.

     
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