La homotecia es una transformación geométrica isomórfica. Además, cuando la potencia es igual a 1 ó -1, es también isométrica. En este tipo de transformaciones siempre se deben cumplir las siguientes condiciones:
- Dos puntos homotéticos están siempre alineados con un punto fijo que se llama centro de homotecia.
- Un par de rectas homotéticas siempre serán paralelas entre si.
Aparte de estas dos condiciones, debe cumplirse que la razón de homotecia entre dos pares de puntos homólogos sea constante. Esto se expresa de la siguiente manera… Supongamos una figura cualquiera, un triángulo, por ejemplo. Este triángulo está definido por sus vértices A, B y C. La figura homotética de este triángulo es el triángulo A’, B’ y C’. Así pues, si divides la distancia entre el centro de homotecia O y A entre la distancia entre O y A’ obtienes un valor k. Si divides el segmento BO entre el segmento OB’, debes obtener el mismo valor. Siempre que tomes dos puntos homólogos y dividas las distancias al centro debe darse la misma proporción.
Aquí abajo tienes una aplicación interactiva que espero que te aclare las ideas. Puedes mover los puntos A, B y C para modificar la figura inicial. También puedes mover el centro de homotecia O. Por último puedes mover el punto A’ para mover la figura homotética.
Date cuenta de una curiosidad… Si el triángulo homotético se encuentra en el mismo lado del centro de homotecia que el triángulo original, entonces la razón de homotecia será positiva. Si por el contrario se encuentra al otro lado, será negativa. Esto es porque se considera que el centro O es el punto cero. Así pues, en una dirección se cuentan unidades positivas, y al otro, negativas. Si divides un número positivo entre otro número positivo, el resultado será un punto positivo. Pero si divides un número positivo entre un número negativo, entonces el resultado será negativo.
En la homotecia se pueden dar cuatro posiciones particulares dependiendo del valor de la razón. Te animo a utilizar la aplicación de más arriba para tratar de ver cual es cual.
Casos particulares
- Cuando la razón es positiva, las dos figuras se encuentran al mismo lado del centro y se dice que es una homotecia directa.
- Si el coeficiente de la razón devuelve un valor negativo, entonces las dos figuras se encuentran opuestas respecto el centro. En este caso se dice que se trata de una homotecia inversa.
- Cuando la potencia es igual a uno, entonces la figura resultante se superpone a la original. En este caso hablamos de una relación de identidad.
- Por último, cuando la potencia es -1, se trata de una simetría central.
Diferencias entre homotecia y semejanza
Hay dos diferencias principales. La primera de ellas es que una relación de semejanza se da entre dos figuras concretas. Por otra parte, una relación de homotecia se puede establecer entre cualquier punto del plano una vez se ha establecido su valor y el centro. Además, dos figuras homotéticas deben siempre tener sus puntos homólogos alineados respecto al centro. Dos figuras semejantes se pueden construir en cualquier parte del plano.