Saltar al contenido
De dibujo

Tangencias sin conocer el radio de la solución

En este tipo de problemas conoces algunos elementos (rectas, circunferencias) y también algunos puntos concretos que pertenecen a la circunferencia buscada o que son puntos de tangencia con otro elemento. Son ejercicios bastante sencillos si recuerdas las propiedades de las tangencias. Los más comunes son:

Índice

    Circunferencia tangente a una recta en un punto T y que pasa por un punto exterior P

    Problemas resueltos de circunferencias tangentes sin conocer el radio de la solución

    Para este problema los elementos que conoces son una recta cualquiera a la que llamaremos r. Sobre esa recta conoces también un punto T que es el punto de tangencia sobre la recta de la circunferencia que te piden hallar. Por último, también conoces un punto exterior a la recta P que pertenece a la circunferencia solución.

    Este problema se resuelve recordando dos propiedades básicas de las tangencias. En primer lugar, cualquier circunferencia tangente a una recta tendrá su centro sobre una perpendicular a dicha recta que pase por el punto de tangencia. Así pues, dibuja para empezar una perpendicular a la recta r que pase por el punto T.

    En segundo lugar, date cuenta que tanto P como T pertenecen a la circunferencia solución. Por tanto, el segmento que forman P y T es una cuerda de esa circunferencia. La otra propiedad que viene al caso es que si dibujamos la mediatriz de una cuerda de una circunferencia, dicha mediatriz siempre contendrá al centro. Dicho esto, dibuja la mediatriz del segmento que forman P y T.

    El punto donde se cruzan la perpendicular que dibujaste al principio, y la mediatriz que acabas de dibujar, es el único lugar del plano que cumple ambas propiedades. Ese punto, por tanto, es O1 el centro de la circunferencia buscada. Para terminar, pincha con el compás en O1 y con radio hasta P ó T, dibuja la circunferencia solución.

    En la aplicación interactiva de aquí abajo puedes mover los puntos azules para comprobar que el centro siempre está sobre la mediatriz y la perpendicular al mismo tiempo.

    Circunferencias tangentes a tres rectas que se cortan

    Cuando te piden resolver problemas de este tipo conoces tres rectas que se cortan entre si. En un principio tendrás cuatro circunferencias como parte de la solución. Una de ellas se encontrará en el interior del triángulo que forman las tres rectas, y las otras tres estarán fuera, en cada uno de los espacios determinados por tres rectas. Para los espacios determinados por dos rectas hay infinitas soluciones a menos que conozcamos un punto de tangencia, por lo que los vamos a ignorar.

    Solo debes recordar una propiedad de las tangencias en éste caso. Cuando una circunferencia es tangente a dos rectas, su centro se encuentra sobre la bisectriz que forman dichas rectas. Como te decía antes, hay infinitas circunferencias tangentes a dos rectas, pero cuando añadimos una tercera recta la cosa cambia. En éste caso, la intersección de las bisectrices determinará un punto que será el centro.

    Vamos a empezar por la circunferencia central. No es necesario que halles la bisectriz de los tres ángulos, con que traces las bisectrices de dos de ellos es suficiente. Así obtienes O1, el centro de la primera circunferencia. Si haces una perpendicular a cualquiera de las tres rectas que pase por O1, tienes en el corte T1, y con centro en O1 y radio hasta T1 puedes dibujar la primera circunferencia. Por cierto, O1 es además el incentro del triángulo que forman las tres rectas.

    Circunferencia tangente a tres rectas

    Para hallar las otras tres, solo tienes que dibujar las bisectrices de los ángulos que forman las tres rectas. Ten en cuenta que no tienen porqué ser tangentes a la circunferencia interior. Esto solo pasará cuando las tres rectas formen un triángulo equilátero. En el caso de un triángulo isósceles, la circunferencia exterior a la base también sería tangente a la interior.

    En la aplicación interactiva de aquí abajo puedes mover los puntos azules para verificar que siempre se cumple la construcción, de manera independiente a la posición de las tres rectas.

    Circunferencias tangentes a dos rectas conociendo el punto de tangencia sobre una recta

    Date cuenta de que en este tipo de ejercicios, a menos que te proporcionen un punto de tangencia, habría infinitas soluciones posibles. Para resolverlo debes recordar las propiedades de las tangencias. En primer lugar, recuerda que toda circunferencia tangente a dos rectas tendrá el centro sobre la bisectriz del ángulo. Lo segundo que debes recordar es que si una circunferencia es tangente a una recta, el centro estará sobre la perpendicular a la recta que pase por el punto de tangencia. Vamos a ver como se resuelve.

    1. Empieza por dibujar una perpendicular a la recta por el punto de tangencia T.
    2. Ahora traza la bisectriz del ángulo que forman ambas rectas.
    3. El punto de corte de ambas rectas es el punto O, centro de la circunferencia que buscas.
    4. Usando el compás, pincha en O y abre hasta T. Así podrás dibujar la circunferencia que te piden.

    Circunferencia tangente a una circunferencia conociendo el punto de tangencia y un punto P exterior de la misma

    En este caso lo que conoces es una circunferencia de centro O1 y un punto P que no pertenece a la misma. También conoces el punto de tangencia T sobre la circunferencia. Lo que se te pide es dibujar una circunferencia tangente a la circunferencia inicial por el punto T y que además pase por P. En este caso las propiedades que debes recordar son:

    • Dos circunferencias tangentes entre si, siempre tienen los centros alineados con el punto de tangencia.
    • En cualquier cuerda de una circunferencia, el centro de la circunferencia está contenido en la mediatriz.

    Así pues, vamos a ver como se resuelve.

    1. Empieza dibujando una línea que pase por O1 y T, ya que sobre ella estará el centro de la otra circunferencia.
    2. Ahora une T y P con un segmento, y halla la mediatríz de ese segmento. Recuerda que T y P forman parte de la circunferencia solución, por tanto son una cuerda de la misma.
    3. El lugar donde la mediatríz y la recta que une O1 y T se cortan es el centro O2 de la circunferencia tangente.
    4. Para terminar, con centro en O2 y radio hasta T, dibuja la circunferencia que buscas.

    Ten en cuenta que se puede dar el caso de que la circunferencia resultante contenga a la circunferencia inicial.

    Circunferencia tangente a una recta y una circunferencia conociendo los puntos de tangencia

    Para este problema te proporcionan los dos puntos de tangencia. Sobre la recta tienes T1 y sobre la circunferencia tienes T2. En este caso las propiedades que te interesan son:

    • Una circunferencia tangente a una recta, siempre tendrá el centro sobre una perpendicular a la recta por el punto de tangencia.
    • Dos circunferencias tangentes entre si, siempre tendrán los centros alineados con respecto al punto de tangencia.

    Así pues, para resolverlo debes hacer lo siguiente:

    1. Dibuja una perpendicular a la recta que pase por el punto T1 ya que sobre esa perpendicular estará el centro de la circunferencia que buscas.
    2. Por otra parte, dibuja una línea que una T2 y O1, ya que sobre esa línea también estará el centro.
    3. El punto donde ambas líneas se cortan es O2, que es el único punto del plano que se encuentra al mismo tiempo sobre la perpendicular y sobre la recta que une O1 y T2. Ese punto es por tanto, el centro de la circunferencia solución.
    4. Para terminar, con centro en O2 y radio hasta T1, dibuja una circunferencia. Esa es la circunferencia tangente a la recta y la circunferencia inicial con los puntos de tangencia que conocías.

    Trazado de N circunferencias tangentes entre si, internas y externas a una circunferencia

    Este método es de cosecha propia. No lo he visto escrito en ningún sitio. En el libro de Primero de Bachillerato de la Editorial Paraninfo viene un método para realizar éste ejercicio, pero solo es válido para 6 circunferencias. Este método vale para cualquier número de circunferencias.

    El punto de partida es una circunferencia dada, y nos piden dibujar N circunferencias interiores y exteriores que sean tangentes entre si, y a la circunferencia. Para empezar, como puedes adivinar, las circunferencias serán iguales. Eso te permite deducir que el primer paso será dividir la circunferencia en N partes. En cada una de esas partes tendrás una circunferencia.

    Realiza el trazado del polígono de N lados que contiene esa circunferencia. No es necesario que dibujes los lados, solo necesitas los puntos para poder dibujar los radios. Si no recuerdas como se dibuja un polígono en cuestion, puedes revisar, en éste enlace te explico como dibujar polígonos regulares. Cuando tengas los puntos, dibuja los radios que unen el centro con esos puntos y tangentes a la circunferencia por esos puntos. De esa manera acabas de dibujar el polígono que contiene a la circunferencia.

    Dibuja las bisectrices de una de las porciones de ese polígono. El punto donde se cortan será O1, el centro de la primera circunferencia. Con centro en O, y radio hasta O1, dibuja una circunferencia. Donde esa circunferencia corta a los radios que dibujaste antes, tienes O2, O3, O4… Los centros de las circunferencias que buscas. Con centro en cada uno de esos puntos y radio hasta el punto en que corta cada uno de esos radios a la circunferencia inicial, dibuja las circunferencias que buscas.

    Trazado de N circunferencias tangentes entre si y a una circunferencia
    Si quieres, puedes dibujar también la circunferencia interior
    • Para dibujar las circunferencias tangentes entre si y que son exteriores, debes prolongar esos radios, pues sobre ellos estarán los centros que buscas. Los vértices del triángulo que contiene a la circunferencia de centro O1 los llamaremos O, A y B.
    • Prolonga la recta que une O con A. Ahora dibuja la bisectriz del ángulo que forman la recta que pasa por O y A y la que pasa por A y B. El punto donde corta a la recta que pasa por O y O1 será el centro de la primera circunferencia exterior, al que llamaremos O8.
    • Dibuja una circunferencia de centro O y radio hasta O8. Donde esa circunferencia corta a cada una de las prolongaciones de los radios que van de O a cada uno de los centros de las circunferencias interiores te marcan O9, O10, O11… Los centros de las circunferencias exteriores.
    • Con centro en cada uno de esos centros, y tomando de radio la distancia de O8 al punto 1, puedes dibujar todas las circunferencias exteriores.
    Trazado de N circunferencias interiores y exteriores a una dada, y tangentes entre si
     
    Más