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De dibujo

Problemas de circunferencias tangentes

En ésta sección encontrarás los problemas de circunferencias tangentes más comunes que se suelen encontrar referidos al nivel de primero de bachillerato. Si es la primera vez que te enfrentas a este tipo de ejercicios, es conveniente que primero visites la sección de las rectas tangentes, porque las necesitarás para solucionar algunos de los problemas que encontrarás aquí.

Problemas de circunferencias tangentes para primero de bachillerato
Índice

    Circunferencias tangentes a una recta por un punto

    Cuando te enfrentes a este tipo de problemas de circunferencias tangentes te darán una recta conocida, el punto de tangencia T sobre dicha recta, y el radio r de las circunferencias tangentes.

    • Lo primero que tienes que hacer es dibujar una recta perpendicular a la recta que conocemos que pase por el punto T
    • Después tienes que medir con el compás la longitud del radio r, y con centro en T, debes trazar dos arcos que cortarán a la recta perpendicular en los puntos O1 y O2, que son los centros de las circunferencias que estamos buscando.
    • Para terminar, con centro en O1 y radio hasta T, puedes dibujar la primera circunferencia. Con centro en O2 y radio hasta T, podrás dibujar la segunda circunferencia que se nos pide, y de ese modo resolver el problema.

    Problemas de circunferencias tangentes a una recta por un punto exterior

    Lo primero que te tienen que proporcionar para resolver problemas de circunferencias tangentes de éste tipo es el radio de las circunferencias. Lo más habitual es que te digan cuando mide, de lo contrario no puedes seguir. También conocemos la recta s a la que deben ser tangentes las circunferencias y el punto de tangencia T, que no pertenece a la recta.

    • Vas a empezar dibujando una recta paralela a la recta conocida, a una distancia de la misma igual al radio de las circunferencias que te piden.
    • El siguiente paso es medir con el compás el radio r de las circunferencias. Con ese mismo radio, y centro en T, tienes que trazar un arco que cortará a la recta paralela en los puntos O1 y O2 que son los centros de las circunferencias que estás buscando.
    • Para terminar, con centro en O1 y radio hasta T, puedes dibujar una de las circunferencias. Luego con centro en O2 y radio hasta T podrás trazar la otra y de esa manera acabar de solucionar el ejercicio.

    Circunferencias tangentes a una recta y una circunferencia conociendo el punto de tangencia en la circunferencia

    En ésta ocasión se te pide hallar las circunferencias tangentes a una recta dada r, y a una circunferencia de centro O1, cuando conoces también el punto de tangencia sobre esa circunferencia, al que llamaremos T. Para resolverlo es interesante acordarse de las propiedades de las tangencias. Por ejemplo, como ya sabes, los centros de dos circunferencias tangentes se encuentran alineados entre si y con el punto de tangencia.

    • Así pues, lo primero que debes hacer es dibujar la recta que pasa por O1 y por T.
    • Ahora traza una perpendicular a dicha recta que pase por T. El punto donde corta a la recta r lo llamaremos P.
    • Llegados a éste punto hay dos formas de solucionarlo…
      • Con centro en P y radio hasta T, traza un arco de circunferencia. De esa manera obtienes T2 y T3. Dibujando perpendiculares por esos puntos tienes en la intersección con la recta que pasa por O1 y T los puntos O2 y O3, centros de las circunferencias buscadas.
      • Otra posible solución es dibujar las bisectrices que forman la recta que pasa por T y P y la recta r. En la intersección de esas bisectrices con la recta que pasa por O1 y T tienes los puntos O2 y O3, centros de las soluciones buscadas.

    Circunferencia tangente a dos circunferencias conociendo los puntos de tangencia

    Este problema es muy sencillo de resolver. Para ello solo debemos acordarnos de las propiedades de las tangencias. Partimos de la base de dos circunferencias de centros O1 y O2, también conocemos los puntos de tangencia con la circunferencia que se pide resolver, T1 y T2.

    Todo lo que debemos hacer es recordar que si dos circunferencias son tangentes entre si, entonces los centros de las mismas están alineados entre si, y con los puntos de tangencia.

    • Dibuja las rectas que pasan por T1 y O1 y por O2 y T2. El punto donde se cortan llámalo O3.
    • Con centro en O3 y radio hasta T1 ó T2, traza una circunferencia. Esa será la solución buscada.
    Circunferencia tangente a dos circunferencias conociendo los puntos de tangencia

    Este ejercicio se puede presentar de distintas formas, dependiendo de donde se encuentren los puntos de tangencia. De todas formas, no te agobies, porque todas las distintas variedades las puedes resolver de la misma manera.

    Problemas de tangencias y enlaces

    Variante complicada: Conociendo solo uno de los dos puntos de tangencia

    Este ejercicio tiene una variante un poco más compleja. Se suele presentar cuando te proporcionan las dos circunferencias, pero solo uno de los dos puntos de tangencia. En este caso tendrás dos soluciones posibles. Una pequeña que no contendrá ninguna circunferencia, y una grande que contendrá a ambas. El punto de partida es similar al de la siguiente imagen. Puedes pulsar sobre ella para que se abra a pantalla completa e imprimirla en un DIN A4 para practicar.

    Circunferencia tangente a dos circunferencias conociendo un punto de tangencia

    Este problema se resuelve aplicando el principio de las dilataciones. Ese principio es el mismo que se usa para hallar las rectas tangentes a dos circunferencias. Te lo explico con un poco más de detalle:

    1. Dibuja una semirrecta que parte de O1 y pasa por T. Los centros de las circunferencias solución que buscas estarán sobre esa recta.
    2. Mide el radio de la otra circunferencia, y sobre la recta que acabas de dibujar lleva la distancia de ese radio para sumarla y restarla del radio de O1. De esa manera obtienes los puntos A y B.
    3. Traza las mediatrices de O2 con A por un lado, y de O2 con B por el otro. Los puntos donde esas mediatrices cortan a la recta que pasa por O1 y T son los centros O3 y O4. Estos son los centros de las soluciones que buscas.
    4. Con centro en O3 y radio hasta T traza una circunferencia. Para terminar, con centro en O4 y radio hasta T dibuja la otra.

    Tres circunferencias tangentes entre si conocidos los centros

    Los elementos que conocemos para poder resolver éste tipo de ejercicios son los centros de tres circunferencias, representados por los vértices de un triángulo. Para resolver este problema debemos recordar las propiedades de los triángulos. Concretamente del incentro. Si no lo recuerdas, el incentro es el centro de la circunferencia interior al triángulo y tangente a los lados del mismo. Por las propiedades de las tangencias sabemos que los radios que van desde el incentro a los puntos de tangencia serán perpendiculares. Del mismo modo, sabemos que si dibujamos rectas tangentes a un par de circunferencias que son tangentes entre si, también son perpendiculares al segmento que une los centros. Así pues…

    • Dibuja las bisectrices de dos ángulos cualquiera del triángulo que conoces. En la intersección de esas bisectrices tendrás O4, el incentro del triángulo.
    • Traza perpendiculares a cada uno de los lados y que pasen por O4. Donde esas perpendiculares cortan a los lados tienes T1, T2 y T3, puntos de tangencia de las circunferencias.
    • Con centro en O1 y radio hasta T1 dibuja la primera de las tres circunferencias.
    • Ahora dibuja la circunferencia de centro O2 y radio hasta T2.
    • Para finalizar, traza una circunferencia con centro en O3 y radio hasta T3.
     
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