Dentro de las distintas curvas cónicas posibles, nos encontramos la parábola. A continuación os explicaré toda la información imprescindible sobre éste tipo de curvas y algunos de los ejercicios más comunes que os encontraréis.
Definición de parábola
La parábola se define como una curva cónica plana, abierta y de una única rama. Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F, denominado foco, y de una recta fija d, llamada directriz.
Tiene un vértice V y un eje de simetría que pasa por V y que es perpendicular a la directriz d. La recta tangente en el vértice es paralela a la directriz d.
Elementos de la parábola
Los elementos de la parabola que debemos conocer son los siguientes:
- Eje: Es la recta perpendicular a la directriz. Sobre el se sitúan tanto el foco como el vértice de la parábola. La parábola es siempre simétrica respecto al eje.
- Vértice: Es el punto de la parábola que se sitúa sobre el eje y que es equidistante tanto del foco como de la recta directriz. Es el punto de la parábola que más próximo se encuentra a la recta directriz.
- Radios vectores: son las rectas que unen un punto con el foco y la directriz.
- Circunferencia focal: Es la recta directriz, tiene por tanto, radio infinito.
- Parámetro: Es la longitud de la cuerda perpendicular al eje en el foco
Construcción por puntos
Se conocen la directriz d, el eje e y el foco F dela parábola. El vértice V será el punto medio del segmento OF. Si no conoces el eje, solo tienes que dibujar una perpendicular a la directriz que pase por F.
- En primer lugar, marca varios puntos sobre el eje, en el ejemplo de más abajo los he llamado A, B y C.
- Dibuja una perpendicular al eje por el punto C.
- Con el compás, mide la distancia entre O y el punto C. Usando esa misma distancia como radio, dibuja un arco con centro en F. Donde ese arco corta a la perpendicular, tienes los puntos C1 y C2
- Repite el mismo proceso con los puntos B y A, de esa manera obtienes los puntos A1, A2, B1 y B2
- Uniendo todos estos puntos, podremos trazar la parábola buscada.
Construcción de la parábola conocidos el eje, el vértice y un punto de la curva
En esta ocasión los datos que conoces son el eje, el vértice y un punto P de la parábola. Para solucionar este ejercicio procedemos de la siguiente manera:
- Trazamos la recta perpendicular al eje por el vértice, a la que denominaremos r
- Dibujamos una recta paralela al eje por el punto P que corta a la perpendicular r en el punto R
- Se dividen los segmentos RP y RV en el mismo número de partes usando el Teorema de Tales. En mi caso he dividido dichos segmentos en cinco partes, obteniendo los puntos 1, 2, 3, 4 y sus homólogos 1′, 2′, 3′, y 4′.
- Trazamos segmentos que unen 1′, 2′, 3′ y 4′ con V.
- Dibujamos paralelas al eje por 1, 2, 3 y 4.
- Donde el segmento V1′ corta a la paralela que pasa por 1 tendremos el punto P1. Donde V2′ corta a la paralela que pasa por 2 tendremos el punto P2, y así sucesivamente.
- Por simetría hallaremos los puntos P5, P6, P7, P8 y P9
- Si unimos todos éstos puntos tendremos la parábola buscada.
Trazado mediante envolventes
En este tipo de ejercicios se suele proporcionar la directriz y el foco, el vértice y el foco, el foco y la recta tangente que pasa por el vértice, o alguna combinación parecida. En cualquier caso, necesitaremos saber la recta tangente que pasa por el vértice y el foco. Si no los sabemos, el primer paso es hallarlos.
Cualquier recta tangente a la parábola cortará a la tangente que pasa por el vértice en un punto P que siempre formará un ángulo de 90 grados respecto al segmento que forman el punto P y el foco F.
Sabiendo ésto, solo tenemos que marcar puntos (aleatorios o no), sobre la tangente al vértice. Luego trazaremos perpendiculares a los segmentos que unan estos puntos con el foco. En este ejemplo he añadido cuatro puntos a los que he llamado P, R, S y T, y he calculado sus simétricos para dibujar la parte inferior de la parábola.
