Como construir figuras iguales

Construir figuras iguales en geometría es especialmente útil a la hora de replicar formas. A continuación te explico varios métodos que se pueden usar para replicar formas. No hay uno mejor que otro, todos ellos son válidos. En determinadas ocasiones te será más útil uno de ellos, y en otras ocasiones preferirás algún otro. Por ello es interesante conocerlos todos.

Para empezar, debemos aclarar lo que significa que dos figuras sean iguales. En geometría, el concepto de igualdad quiere decir que dos figuras tienen todos sus lados y ángulos iguales.

Construir figuras iguales mediante coordenadas

El método de las coordenadas se parece bastante a hacer un mapa de la figura. Para construir dos figuras iguales mediante éste método debemos dibujar los ejes de coordenadas y de abscisas (ejes vertical y horizontal). Sobre ellos marcaremos las distancias. No hace falta que marques todos los puntos de medida. Con que marques solo esos que vas a utilizar es suficiente. Tu punto de partida será semejante a esto:

• Marca un punto cualquiera O que será el centro de coordenadas.
• Dibuja dos rectas perpendiculares entre si y que pasen por O, a éstas rectas llámalas r y s para poder identificarlas.
• Traza perpendiculares a r que pasen por cada uno de los puntos. De esa manera obtienes los puntos A₁, B₁, C₁, D₁ y E₁ sobre la recta r.
• Dibuja otro punto cualquiera O’ en la zona donde quieres copiar la figura. Ese será el nuevo centro de coordenadas de la figura nueva.
• Ahora marca dos rectas perpendiculares que pasen por O’. A éstas rectas las puedes llamar r’ y s’, que serán los nuevos ejes de coordenadas.
• Usando el compás, puedes marcar sobre r’ las distancias que tienes de O a A₁, B₁, C₁, D₁ y E₁. De esa manera obtienes los puntos A₁‘, B₁‘, C₁‘, D₁‘ y E₁‘.

Relación de igualdad por copia de ángulos

Para construir una figura igual a otra empleando este sistema es imprescindible conocer como copiar y trasladar ángulos. El punto de partida es un polígono cualquiera. Para éste ejemplo he escogido un pentágono irregular representado por los vértices A, B, C, D y E. Lo más habitual es que te indiquen un punto o segmento de referencia. En este ejemplo conoces también los puntos A’ y B’ a partir de los cuales debes replicar la figura. Aquí tienes una lámina con la que puedes practicar. El objetivo es obtener una figura igual a la primera, de tal manera que A’ sea homólogo de A. Tu punto de partida se parecerá a esto:

1. Empieza por copiar los ángulos α y β a partir de los puntos A’ y B’ que conoces.
2. Sobre las líneas que marcan los ángulos, lleva la distancia de los lados que delimitan los puntos E y C. De esa manera obtienes los puntos E’ y C’.
3. Desde E’ y C’, traslada los ángulos γ y ε donde las líneas que delimitan esos ángulos se cortan, tienes el punto D’, que termina el polígono.

Trazar figuras iguales por triangulación

Desde mi punto de vista, esta es la forma más cómoda para trazar figuras iguales. También es un método muy habitual para dibujar planos de viviendas o de otras superficies grandes. El proceso consiste en dividir la figura original en una serie de triángulos que luego tienes que repetir para duplicar la figura original. Para este ejemplo vamos a partir de un pentágono irregular representado por los vértices A, B, C, D y E. Tu punto de partida será semejante a esto:

1. Empieza por dividir la figura en triángulos. Para este ejemplo obtienes tres triángulos, el formado por los vértices A, E y D. El que forman los vértices A, D y C. Por último, el que forman los vértices A, B y C.
2. Para este ejercicio conoces el vértice D’ a partir del cual debes dibujar la figura igual a la inicial.
3. Empieza por dibujar una línea paralela al segmento DC que pase por D’, y sobre esa línea mide la distancia entre D y C. De esa manera determinas C’.
4. Mide con el compás la distancia entre D y A. Con esa medida, traza un arco con centro en D.
5. Luego mide la distancia que hay entre A y C con el compás. Usa el compás para trazar un arco con esa misma medida y centro C’.
6. El punto donde ambos arcos se cortan es el punto A’.
7. A continuación mide la distancia entre A y E con el compás. Con esa misma medida, traza un arco desde A’.
8. Lo siguiente que debes hacer es medir con el compás la distancia entre D y E. Con esa misma medida, traza un arco desde D’. Donde ese arco corta con el anterior tienes el punto E’
9. Ya para terminar, tienes que hallar el punto B repitiendo el proceso. Mide con el compás la distancia entre A y B. Con esa medida, traza un arco desde A’.
10. Ahora mide con el compás el segmento BC. Usa esa medida como radio y traza un arco con centro en C’. Donde ese arco cruza con el anterior, tienes el punto B’
11. Uniendo todos esos puntos tienes un polígono igual al inicial.

Igualdad por radiación

Cuando la figura que queremos replicar es convexa (vamos, que no es estrellada ni tiene ángulos que apuntan hacia su interior) este es un método muy interesante. En vez de partir desde uno de los vértices, partiremos desde un punto inicial en el centro de la figura (no tiene porque ser el centro). Aquí tienes una lámina para practicar, en ella ya tienes marcados O’ y A’ para que te sea más fácil empezar. Tu punto de partida se parece a lo siguiente:

1. Empieza por marcar un punto cualquiera dentro de la figura original. Llámalo O.
2. Con centro en O, traza una circunferencia cualquiera.
3. Marca un punto O’ en donde quieras que esté el centro de la figura una vez replicada. Con centro en ese punto, traza una circunferencia igual que la que acabas de dibujar.
4. Ahora traza radios que partan de O y que pasen por cada uno de los vértices de la figura inicial. Donde esos radios cortan a la circunferencia que dibujaste antes tienes los puntos A₁, B₁, C₁, D₁, y E₁.
5. Dibuja una línea que parta de O’ paralela a la línea que pasa por O y A. Donde esa línea corta a la circunferencia, tienes A₂.
6. Por copia de ángulos, partiendo de A₂, puedes hallar B₂, C₂, D₂ y E₂.
7. Traza líneas que vayan de O’ a A₂, B₂, C₂, D₂ y E₂, y sobre esas líneas traslada los segmentos OA, OB, OC, OD, OE. De esa manera encuentras los puntos A’, B’, C’, D’ y E’.
8. Uniendo todos esos puntos obtienes una figura igual a la inicial.

Utilizando una cuadrícula para dibujar figuras iguales

Este método no se suele utilizar en geometría, siendo mucho más apropiado para otro tipo de trabajos más relacionados con las técnicas puramente artísticas. Te lo describo a continuación a título informativo.

1. Dibuja una cuadrícula con la medida que quieras que contenga a la figura inicial. Cuanto más secciones tenga esa cuadrícula, más precisa será la copia.
2. Marca los puntos donde los lados del polígono cortan a esa cuadrícula.
3. Traslada esos puntos de corte sobre otra cuadrícula igual y únelos con líneas. Los puntos donde las líneas se cruzan son los vértices del polígono. De esa manera tienes una figura igual a la inicial.