El tetraedro es un sólido poliédrico formado por cuatro caras iguales que son triángulos equiláteros. Para dibujarlo lo más habitual es que te proporcionen como único dato la longitud del lado del triángulo, aunque también puedes encontrar algunos ejercicios en los que te proporcionan la longitud del lado del triángulo o del propio tetraedro. En cualquiera de esos casos, la solución sería dibujar un tetraedro cualquiera y luego escalar al valor que conoces.
Como hallar la altura del tetraedro…
Para hallar la altura del tetraedro a partir de su arista, el procedimiento a seguir es el siguiente:
- Empieza dibujando la proyección horizontal del tetraedro. Para ello construye un triángulo tomando como lado la arista y determina su centro. En este caso es el triángulo formado por A1, B1 y C1. El vértice superior del tetraedro sería el centro de ese triángulo, representado por D1.
- Dibuja las líneas que van desde el centro a cada uno de los vértices. Esas serán aristas vistas en su proyección horizontal.
- Tomando como referencia cualquiera de esas aristas, dibuja una perpendicular a la misma que pase por D1 (por el centro).
- Traza un arco por el vértice de esa arista opuesto a esa perpendicular. En este caso el centro será A1, y el radio será hasta C1. Donde ese arco corta a la perpendicular tienes E.
- La distancia entre E y D1 determina la altura del tetraedro. En este ejemplo la puedes ver marcada de rojo con la letra h.
Supongamos que no recuerdas este método. Otro procedimiento válido sería abatir la altura de un triángulo que sería una de las caras. En el ejercicio siguiente lo tienes representado a la derecha en azul, y la línea más gruesa sería su altura.
Tetraedro dada su altura
Una opción posible es que conozcas la altura del tetraedro, pero no su lado. Como imagino que ya habrás notado, es imposible construir el tetraedro si no conoces su lado. Así pues, lo primero que debemos hacer es hallar la longitud del lado. Una forma muy fácil de hacerlo es por semejanzas. Te explicaré como paso a paso:
- El primer paso es hallar la sección principal de un tetraedro cualquiera con un tamaño cualquiera. Para ello dibuja un triángulo equilátero con un lado cualquiera.
- Una vez tengas ese triángulo, halla su altura, a la que llamaremos h.
- Como puedes ver un poco más abajo, la sección principal del tetraedro es un triángulo isósceles formado por dos alturas y un lado, siendo una de las alturas la base del mismo. Así pues, dibuja ese triángulo y halla su altura.
- La solución la vamos a hallar por semejanza. Prolonga la altura hasta el valor que tienes. Luego haz una paralela al lado que funciona de base y prolonga los otros dos lados. De esa manera obtienes de forma rápida la medida correspondiente tanto para el lado, como para la altura.
Como dibujar un tetraedro con una de sus caras apoyadas sobre el plano horizontal
Este ejercicio es la continuación del anterior. Una vez tienes dibujada la proyección horizontal del tetraedro, solo tienes que marcar la altura del punto D y unirlo con los demás vértices.
- Dibuja una perpendicular a la línea de tierra que pase por D1 y desde la línea de tierra hacia arriba marca la altura del tetraedro, que ya obtuviste en el ejercicio anterior. De ese modo tienes la posición de D2.
- Traza perpendiculares a la línea de tierra que pasen por C1 y B1 para obtener la posición de C2 y B2. Date cuenta de que tal como hemos situado la proyección horizontal del tetraedro, A2 coincidirá con B2 en su proyección vertical.
- Une D2 con C2 por un lado y D2 con B2 por el otro.
Sección principal del tetraedro regular
La sección principal de un tetraedro regular está determinada por un plano perpendicular a la base que secciona la figura pasando por el un vértice de la base y la mitad del lado opuesto en la base a ese vértice. Este plano pasa por el centro del tetraedro y la sección resultante es un triángulo isósceles. Se pueden realizar hasta seis secciones principales en un tetraedro regular.
Un enunciado típico sería: «Halla la sección principal de un tetraedro regular cuyas aristas midan 8cm». La forma de hallar la sección sería la siguiente:
- Empieza dibujando lo que sería una de las caras del tetraedro. En este caso sería un triángulo equilátero cuyos vértices serían A, B y C.
- Halla la altura de ese triángulo. Para ello traza una perpendicular por uno de sus vértices (A, por ejemplo) hasta la mitad del lado opuesto. De esa manera determinas el punto D y la longitud de la altura, que sería el segmento BD (lo he marcado aquí con la letra m).
- Dibuja una perpendicular al segmento que forman BC y que pase por A.
- Ahora, con centro en B y radio hasta D, traza un arco que corte a esa perpendicular. Ese punto de corte es E.
- El triángulo formado por B, C y E es la sección del tetraedro.
Como dato adicional, si trazas una perpendicular al segmento BE que pase por C obtienes el segmento CF, que es la altura del tetraedro (aquí abajo representado con la letra h).
Tetraedro apoyado en una arista
La parte más complicada de este ejercicio es averiguar la altura del tetraedro cuando se encuentra apoyado en una arista. Date cuenta de que en esta posición, si seccionas el tetraedro, tendrás un triángulo isósceles, apoyado en un lado que será su base. Los dos lados iguales serán dos alturas. Para resolverlo procedemos de la siguiente manera:
- Empieza por dibujar la proyección horizontal del tetraedro. Esta será un cuadrado cuyas diagonales serán dos aristas. Una arista será visible (la de arriba) y la otra oculta (la de abajo)
- Dibuja uno de los lados del tetraedro en verdadera magnitud. Es decir, un triángulo equilátero cuyos lados midan lo mismo que la arista. De esa manera averiguas la altura de un lado.
- Con esa medida, y pinchando en un vértice de la base, mira a ver donde te corta a la altura. Ese punto determina la altura h, que es la del tetraedro. Si te lías con toda esta construcción, hazla aparte. Yo aquí te dejo la construcción aparte, y también integrada en la proyección horizontal, para que puedas ver que el resultado será el mismo.
- Una vez que sabes la altura del tetraedro, es fácil terminar la construcción.
Desarrollo del tetraedro regular
El desarrollo de un tetraedro regular está representado por cuatro triángulos equiláteros unidos por las aristas. Se puede representar como un triángulo equilátero formado por esos cuatro cuadrados, o bien como una sucesión lineal de esos triángulos.