Perpendicularidad entre planos en el sistema diédrico

Cuando hablamos de planos perpendiculares entre si en sistema diédrico nos estamos refiriendo a planos que al cortarse forman un ángulo de 90 grados entre si. Date cuenta de que solo con estas premisas, hay infinitos planos perpendiculares a uno dado. Más aún, si te pidieran dibujar un plano perpendicular a otro que pasa por un punto, seguiría habiendo infinitos planos perpendiculares al dado. Por ese motivo se suele complicar este tipo de ejercicios añadiendo algún tipo de requisito adicional.

Plano perpendicular a otro que pase por un punto dado y sea paralelo a una recta

Los datos que te proporcionan para resolver este ejercicio son los siguientes:

• Las trazas de un plano determinado, al que llamaremos α y sus trazas serán α₁ para la horizontal y α₂ para la vertical.
• Una recta a la que llamaremos r, representada por sus proyecciones r₁ para la horizontal y r₂ para la vertical.
• Un punto al que llamaremos A, al que identificamos gracias a su proyección horizontal A₁ y a su proyección vertical A₂.

Tu punto de partida será algo similar a ésto:

1. Empieza dibujando una recta paralela a la que conoces que pase por A. Para ello traza una recta paralela a r₂ que pase por A₂, y luego una paralela a r₁ que pase por A₁. La paralela a r₂ llámala s₂, y la paralela a r₁ llámala s₁.
2. Donde s₂ corta a la línea de tierra tienes el punto F₂, que es la proyección vertical de la traza horizontal de la recta s.
3. En el lugar donde s₁ corta a la línea de tierra tienes el punto E₁, que es la proyección horizontal de la traza vertical de la recta s.
4. Dibuja una recta perpendicular a la línea de tierra que pase por F₂. Donde esa perpendicular corta a s₁ tienes F₁, que es la traza horizontal de la recta s.
5. Ahora traza una línea perpendicular a la línea de tierra que pase por E₁. En el punto de corte con s₂ tienes E₂, que es la traza vertical de la recta s.
6. El siguiente paso es dibujar una recta perpendicular al plano que pase por A. Para ello traza una línea perpendicular a la traza vertical del plano que pase por A₂, a esa recta llámala t₂. Luego dibuja una línea perpendicular a la traza horizontal del plano que pase por A₁ a la que llamaremos t₁. Donde la perpendicular que pasa por A₁ corta a la línea de tierra tienes el punto B₁, proyección horizontal de la traza vertical de la recta.
7. Dibuja una perpendicular a la línea de tierra que pase por B₁. Donde esa perpendicular corta a t₂ tienes el punto B₂, que es la traza vertical de la línea perpendicular al plano.
8. Realiza la línea que pasa por E₂ y B₂, y prolóngala hasta cortar a la línea de tierra en el punto O. Esa recta es la traza vertical del plano que estás buscando.
9. Marca la línea que une O con F₁. Esa será la traza horizontal del plano que estás buscando.

Plano perpendicular a otro y que pasa por una recta dada

Para este ejercicio conoces las trazas de un plano α representado por sus trazas horizontal α₁ y vertical α₂. También conoces una recta r por la que debe pasar el plano perpendicular, representada por sus proyecciones horizontal r₁ y vertical r₂. Así pues tu punto de partida será algo parecido a esto.

1. Empieza marcando un punto A cualquiera de la recta. Para ello dibuja una recta perpendicular a la línea de tierra y marca donde corta a las proyecciones de la recta.
2. El punto donde esa perpendicular corta a la proyección vertical de la recta es el punto A₂, proyección vertical del punto.
3. Donde la perpendicular corta a la proyección horizontal de la recta tienes el punto A₁, proyección horizontal del punto.
4. Ahora dibuja una recta perpendicular al plano que pase por ese punto. Para ello traza una recta perpendicular a la traza horizontal del plano que pase por A₁. A ésta recta la llamaremos s₁.
5. A continuación realiza una perpendicular a la traza vertical del plano que pase por el punto A₂. Donde esa perpendicular corta a la línea de tierra tienes el punto B₂, que es la proyección vertical de la traza horizontal del plano.
6. Dibuja una perpendicular a la línea de tierra que pase por B₂. Donde esa perpendicular corta a s₁ tienes B₁, que es la traza horizontal de la recta.
7. Para continuar, vamos a darle nombre a las trazas de la recta r. A la traza vertical llámala E₂, y a la traza horizontal llámala F₁.
8. Date cuenta de que tanto B₁ como F₁ se encuentran sobre la traza horizontal del plano que estás buscando. Por tanto, si dibujas la recta que los une, tendrás la traza horizontal del plano β. Donde esa traza, a la que puedes llamar β₁ corta a la línea de tierra tienes el punto C.
9. Si unes C con E₂, para terminar, tienes la traza vertical β₂ del plano β.